山西省山西大学附属中学校2021-2022学年高三上学期11月期中考试数学文科试题

山西大学附中2021～2022学年高三年级第一学期期中考试 数学试题（文）双向细目表 能力 内容 A认识理解能力 B实践应用能力 C探究创新能力 集合、复数 1,2 函数、不等式、导数 9，14 11，21（1） 12，21（2） 三角函数与解三角形 3 6，18 16 算法框图、线性规划 4，13 数列 15 平面向量 8 立体几何 10，19 解析几何 7，20（1） 20(2) 概率统计 5 17 选做题 22,23 合计 40 84 26 每个填空题一个打分板：即13,14,15,16题各一个打分板，每空5分 17（12分）,18（12分）,19（12分）,20（12分），21（12分），22或23（10分）各一个打分板 $山西大学附中 2021～2022学年高三年级第一学期期中考试 数学（文科）参考答案 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C A C B D B A D C B C A 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13． 14． 15． 16． 三、解答题 (共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17. 【解答】 解：（1）由，得．…………………2 分 平均数为；岁；………………4分 设中位数为，则，岁．…… 6分 （2）第1，2组的人数分别为20人，30人， 从第1，2组中用分层抽样的方法抽取5人， 则第1，2组抽取的人数分别为2人，3人，……………………………………… 8分 分别记为，，，，． 设从5人中随机抽取3人，为： ，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共10个基本事件， ………………………………………… 10分 第2组中抽到2人的情况有，，，，，，，，，，，，，，，，，，共6种情况………………………………………… 11分 从而第2组中抽到2人的概率．………………………………………… 12分 18．【解答】 解：（Ⅰ）由，可得， 所以，即，……… 2分 又因为，所以，……………………………………… 3分 因为， 所以，……………………………………………………… 4分 所以；…… 6分 （Ⅱ）假设能成立，所以，……………………………………… 7分 由余弦定理，，所以，所以， 故，解得或（舍，……………………………………10分此时，不满足，…………………………………………… 11分 所以假设不成立，故不成立．……………………………………………… 12分 19．【解答】 （1）证明：因为四棱柱为直四棱柱，所以， 所以平面.………………………………………………………………… 2分 又，所以点为的中点， 又且，所以且， 所以四边形为平行四边形，所以， 所以平面.………………………………………………………………… 4分 又在平面中，， 由面面平行的判定定理可知，平面平面，…………………… 5分 又平面，所以平面；………………………………………… 6分 （2）解：由（1）可知，为的中点， 在梯形中，， 所以为等边三角形，所以， 又，所以， 所以的面积， 则，…………………………………………… 8分 在中，， 在中，由余弦定理可得， 所以的面积为，…………………… 9分 设点到平面的距离为，由等体积法有， 则有，即，解得， 故所求点到平面的距离为．……………………………………………12分 20．【解答】 解：（Ⅰ）因为圆与轴相切于点，可设圆心的坐标为，， 则圆的半径为；又，………………………………………………………1分 所以，解得；……………………………………………………3分 所以圆的方程为；………………………………………………4分 （Ⅱ）证明：由（1）知，，， 当直线的斜率为0时，易知，即；…………………6分 当直线的斜率不为0时，设直线，将代入， 整理得；…………………………………………………………8分 设，，，，所以，………………………………9分 则；综上，可得．…………………………………………………………12分 21．【解答】 解：（1）当时，函数，． ，………………………………………2分 可得函数在上单调递增，在上单调递减． 因此函数的单调递增区间为，单调递减区间为．……………………4分 （2）证明：当时，． 令，△，………………………………………………………5分 由△，解得，则，函数在上单调递增，无极值，不满足