2022届高考数学二轮复习考点突破十七-导数与不等式的综合问题练习

考点突破十七　导数与不等式的综合问题 【考点一】利用导数证明不等式 【典例1】已知函数f(x)＝(2x－1)ln x＋x－1. (1)求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； (2)求证：f(x)>－1. 【变式训练1】已知函数f(x)＝xex，g(x)＝(e－1)·x2＋x ln x＋x. (1)求曲线y＝f(x)在点(1，e)处的切线方程； (2)证明：f(x)≥g(x). 【变式训练2】(2020·全国Ⅱ卷)已知函数f(x)＝sin2x sin2x. (1)讨论f(x)在区间(0，π)上的单调性； (2)证明：|f(x)|≤； (3)设n∈N*，证明：sin2x sin22x sin24x…sin22nx≤. 【考点二】导数的综合应用　 【典例2】(12分)(2021·新高考全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝x(1－ln x). (1)讨论f(x)的单调性； (2)设a，b为两个不相等的正数，且b ln a－a ln b＝a－b，证明：2＜＋＜e. 【变式训练】已知函数f(x)＝a ln x＋1(a>0). (1)当x>0时，求证：f(x)－1≥a； (2)若在区间(1，e)上有f(x)>x恒成立，求实数a的取值范围． 【考点三】双变量问题非等价转化致误 【典例3】已知函数f(x)＝2ax＋2x ln x(a∈R). (1)若函数f(x)在区间(e2，＋∞)上存在极值点，求a的取值范围； (2)已知x1，x2∈(0，＋∞)，且x1<x2，求证：x1<<x2. 【变式训练1】已知函数f(x)＝a ln x－x－(a∈R). (1)求函数f(x)的单调区间； (2)当e<a<2时，关于x的方程f(ax)＝－有两个不同的实数解x1，x2，求证：x1＋x2<4x1x2. 【变式训练2】已知函数f(x)＝ln x－kx，其中k∈R为常数． (1)讨论函数f(x)的单调性； (2)若f(x)有两个相异零点x1，x2，求证：ln x2>2－ln x1. 参考答案 【考点一】利用导数证明不等式 【典例1】已知函数f(x)＝(2x－1)ln x＋x－1. (1)求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； (2)求证：f(x)>－1. 【解析】(1)由f(x)＝(2x－1)ln x＋x－1， 得f′(x)＝2ln x－＋3， 所以f′(1)＝2，f(1)＝0，则切线方程为y＝2x－2. (2)f′(x)＝2ln x－＋3，x∈(0，＋∞)， 令h(x)＝2ln x－＋3，x∈(0，＋∞)， 所以h′(x)＝＋＝>0， 故h(x)在(0，＋∞)上单调递增． 又h(1)＝2>0，h＝1－ln 4＝ln <0， 又h(x)在(0，＋∞)上连续， 所以存在x0∈使得h(x0)＝0，即f′(x0)＝0， 所以2ln x0－＋3＝0.(*) f′(x)，f(x)随x的变化情况如下： x (0，x0) x0 (x0，＋∞) f′(x) － 0 ＋ f(x) ↘ 极小值 ↗ 所以f(x)min＝f(x0)＝(2x0－1)ln x0＋x0－1. 由(*)式得ln x0＝－，代入上式得 f(x)min＝f(x0)＝(2x0－1)＋x0－1 ＝－2x0－＋. 令t(x)＝－2x－＋，x∈， t′(x)＝－2＝<0， 故t(x)在上单调递减． 所以t(x)>t(1)，又t(1)＝－1， 即f(x0)>－1，所以f(x)>－1. 【变式训练1】已知函数f(x)＝xex，g(x)＝(e－1)·x2＋x ln x＋x. (1)求曲线y＝f(x)在点(1，e)处的切线方程； (2)证明：f(x)≥g(x). 【解析】(1)由f(x)＝xex，得f′(x)＝(x＋1)ex，则f′(1)＝2e.又切点为(1，e)， 所以曲线y＝f(x)在点(1，e)处的切线方程为 y－e＝2e(x－1)，即2ex－y－e＝0； (2)要证f(x)≥g(x)，即证xex≥(e－1)x2＋x ln x＋x， 也就是证：≥＋e－1. 令h(x)＝，则h′(x)＝. 当x∈(0，1)时，h′(x)＜0，h(x)单调递减， 当x∈(1，＋∞)时，h′(x)＞0，h(x)单调递增． 所以h(x)≥h(1)＝e. 令φ(x)＝＋e－1，则φ′(x)＝. 当x∈(0，1)时，φ′(x)＞0，φ(x)单调递增， 当x∈(1，＋∞)时，φ′(x)＜0，φ(x)单调递减． 所以φ(x)≤φ(1)＝e.所以h(x)≥φ(x).即f(x)≥g(x). 【变式训练2】(2020·全国Ⅱ卷)已知函数f(x)＝sin2x sin2x. (1)讨论f(x)在区间(0，π)上的单调性； (2)证明：|f(x)|≤； (3)设n∈N*，证明：sin2x sin22x sin24x…sin