2022届高考数学二轮复习考点突破二十-导数与零点的综合问题练习

考点突破二十　导数与零点的综合问题 【考点一】利用导数研究函数的零点(方程的根)　 【典例1】(12分)(2021·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)＝(x－1)ex－ax2＋b. (1)讨论f(x)的单调性； (2)从下面两个条件中选一个，证明：f(x)有且只有一个零点． ①＜a≤，b＞2a；　　②0＜a＜，b≤2a. 【变式训练】设函数f(x)＝e2x－a ln x. (1)讨论f(x)的导函数f′(x)零点的个数； (2)证明：当a＞0时，f(x)≥2a＋a ln . 【考点二】根据函数零点存在情况求参数取值范围 【典例2】(2020·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝ex－a(x＋2). (1)当a＝1时，讨论f(x)的单调性； (2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围． 【变式训练】已知函数f(x)＝ex(ln x－ax＋a＋b)(e为自然对数的底数)，a，b∈R，直线y＝x是曲线y＝f(x)在x＝1处的切线． (1)求a，b的值． (2)是否存在k∈Z，使得y＝f(x)在(k，k＋1)上有唯一零点？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由． 【考点三】利用导数求解最优化问题 【典例3】某公司为了获得更大的收益，每年要投入一定的资金用于广告促销．经调查，每年投入广告费t百万元，可增加销售额约为(－t2＋7t)百万元． (1)若该公司将一年的广告费控制在4百万元之内，则应投入多少广告费，才能使该公司由此增加的收益最大？ (2)现该公司准备共投入5百万元，分别用于广告促销和技术改造，经预测，每投入技术改造费x(1≤x≤5)百万元，可增加的销售额约为百万元，请设计一个资金分配方案，使该公司由此增加的收益最大． (注：收益＝销售额－投入，这里除了广告费和技术改造费，不考虑其他的投入) 【变式训练】某地环保部门跟踪调查一种有害昆虫的数量．根据调查数据，该昆虫的数量y(万只)与时间x(年)(其中x∈N*)的关系为y＝2ex.为有效控制有害昆虫数量、保护生态环境，环保部门通过实时监控比值M＝(其中a为常数，且a>0)来进行生态环境分析． (1)当a＝1时，求比值M取最小值时x的值； (2)经过调查，环保部门发现：当比值M不超过e4时不需要进行环境防护．为确保恰好3年不需要进行保护，求实数a的取值范围．(e为自然对数的底数，e＝2.718 28…) 参考答案 【考点一】利用导数研究函数的零点(方程的根)　 【典例1】(12分)(2021·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)＝(x－1)ex－ax2＋b. (1)讨论f(x)的单调性； (2)从下面两个条件中选一个，证明：f(x)有且只有一个零点． ①＜a≤，b＞2a；　　②0＜a＜，b≤2a. 【规范解答】(1)由函数的解析式可得： f′(x)＝x(ex－2a). 当a≤0时，若x∈(－∞，0)， 则f′(x)＜0，f(x)单调递减， 若x∈(0，＋∞)，则f′(x)＞0，f(x)单调递增； 当0＜a＜时，若x∈， 则f′(x)＞0，f(x)单调递增， 若x∈，则f′(x)＜0，f(x)单调递减， 若x∈(0，＋∞)，则f′(x)＞0，f(x)单调递增； 当a＝时，f′(x)≥0，f(x)在R上单调递增； 当a＞时，若x∈，则f′(x)＞0，f(x)单调递增， 若x∈，则f′(x)＜0，f(x)单调递减， 若x∈，则f′(x)＞0，f(x)单调递增． (2)若选择条件①：由于＜a≤， 故1<2a≤e2， 则b＞2a＞1，f(0)＝b－1＞0， 由(1)可知，f(x)在(－∞，0)上单调递增． (0，ln (2a))上单调递减，(ln (2a)，＋∞)上单调递增，而f＝e－＜0， 所以f(x)在上有一个零点． f(ln (2a))＝2a[ln (2a)－1]－a[ln (2a)]2＋b ＞2a[ln (2a)－1]－a[ln (2a)]2＋2a ＝2a ln (2a)－a[ln (2a)]2 ＝a ln (2a)[2－ln (2a)]， 由于1＜2a≤e2，故a ln (2a)[2－ln (2a)]≥0， 结合函数的单调性可知，函数在区间(0，＋∞)上没有零点．综上可得，题中的结论成立． 若选择条件②：由于0＜a＜，故0＜2a＜1， 则f(0)＝b－1≤2a－1＜0. 当b≥0时，e2＞4，4a＜2，f(2)＝e2－4a＋b＞0，而函数在区间(0，＋∞)上单调递增， 故函数在区间(0，＋∞)上有一个零点；当b＜0时，构造函数H(x)＝ex－x－1， 则H′(x)＝ex－1， 当x∈(－∞，0)时，H′(x)＜0，H(x)单调递减， 当x∈(0，＋∞)时，H′(x)＞0，H(x)单调递增， 注意到H(0)＝0，故H(x)≥0恒成立， 从而有ex≥x＋1， 此时，f(x)＝(x－1)ex－