2022届高考数学二轮复习考点突破训练十六　坐标系与参数方程

考点突破十六　坐标系与参数方程 【考点一】极坐标方程与直角坐标方程的互化及应用 【典例1】已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－2ρcos (θ－)＝2. (1)把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程． 【变式训练】(2021·全国乙卷)在直角坐标xOy中，⊙C的圆心为C(2，1)，半径为1. (1)写出⊙C的一个参数方程； (2)过点F(4，1)作⊙C的两条切线．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程． 【考点二】参数方程与普通方程的互化及应用 【典例2】(2021·全国甲卷)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2cos θ. (1)将C的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)设点A的直角坐标为(1，0)，M为C上的动点，点P满足＝，写出P的轨迹C1的参数方程，并判断C与C1是否有公共点． 【变式训练】在直角坐标系xOy中曲线C的参数方程为(θ为参数)，直线l的参数方程为(t为参数). (1)若a＝－1，求C与l的交点坐标； (2)若C上的点到l距离的最大值为，求a. 【考点三】极坐标方程与参数方程的综合应用 【典例3】(2020·全国Ⅰ卷)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数).以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为4ρcos θ－16ρsin θ＋3＝0. (1)当k＝1时，C1是什么曲线？ (2)当k＝4时，求C1与C2的公共点的直角坐标． 【变式训练1】在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数)，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝－2(sin θ＋cos θ). (1)求曲线C1与C2的直角坐标方程； (2)已知直线l的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R，0＜α＜)，直线l与曲线C1，C2分别交于M，N(异于点O)两点，若|OM||ON|＝8，求α. 【变式训练2】已知曲线C1，C2的参数方程分别为 C1： (θ为参数)，C2：(t为参数). (1)将C1，C2的参数方程化为普通方程； (2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．设C1，C2的交点为P，求圆心在极轴上，且经过极点和P的圆的极坐标方程． 参考答案 【考点一】极坐标方程与直角坐标方程的互化及应用 【典例1】已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－2ρcos (θ－)＝2. (1)把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程． 【解析】(1)ρ＝2⇒ρ2＝4，所以x2＋y2＝4； 因为ρ2－2ρcos (θ－)＝2， 所以ρ2－2ρ(cos θcos ＋sin θsin )＝2， 所以x2＋y2－2x－2y－2＝0. (2)将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为x＋y＝1，化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1，即ρsin (θ＋)＝. 【变式训练】(2021·全国乙卷)在直角坐标xOy中，⊙C的圆心为C(2，1)，半径为1. (1)写出⊙C的一个参数方程； (2)过点F(4，1)作⊙C的两条切线．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程． 【解析】(1)因为⊙C的圆心为(2，1)，半径为1， 故⊙C的参数方程为(θ为参数). (2)易知切线斜率存在．设切线y＝k(x－4)＋1，即kx－y－4k＋1＝0，故＝1. 即|2k|＝，4k2＝1＋k2，解得k＝±， 故切线方程为y＝(x－4)＋1或y＝－(x－4)＋1， 即x－y＋－4＝0或x＋y－－4＝0， 故两条切线的极坐标方程为 ρcos θ－ρsin θ＋－4＝0⇒2ρsin ＝4－， 或ρcos θ＋ρsin θ－－4＝0⇒2ρsin ＝4＋. 【考点二】参数方程与普通方程的互化及应用 【典例2】(2021·全国甲卷)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2cos θ. (1)将C的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)设点A的直角坐标为(1，0)，M为C上的动点，点P满足＝，写出P的轨迹C1的参数方程，并判断C与C1是否有公共点． 【解析】(1)ρ2＝2ρcos θ， 所以x2＋y2＝2x，所以(x－)2＋y2＝2. (2)设P(x，y)，M(x0，y0)，由＝， ＝＋＝(x－1，y)＋(1，0)＝， 又M在C上所以(x－＋1)2＋＝2， 所以(x＋－3)2＋y2＝4， 则C1为以(3－，0)为圆心，2为半径的圆， 所以C1的参数方程为 所以 ＜， 所以两圆为内含关系，所以C与C1无公共点