2022届高考数学二轮复习考点突破十五-不等式选讲试卷

考点突破十五　不等式选讲 【考点一】绝对值不等式的解法 【典例1】已知函数f(x)＝|2x－2|－|x－2|. (1)求不等式f(x)<0的解集； (2)若存在x∈R使得f(x)<a成立，求实数a的取值范围． 【变式训练1】已知函数f(x)＝|x＋1|－|2x－3|. (1)画出y＝f(x)的图象； (2)求不等式|f(x)|＞1的解集． 【变式训练2】 (2021·江南十校一模)已知函数f(x)＝|x|－|2x－1|，记不等式f(x)＞－1的解集为M. (1)求M；(2)已知a∈M，比较a2－a＋1与的大小． 【考点二】与绝对值不等式有关的最值(范围)问题 【典例2】(2021·全国乙卷)已知函数f(x)＝|x－a|＋|x＋3|. (1)当a＝1时，求不等式f(x)≥6的解集； (2)若f(x)>－a，求a的取值范围． 【变式训练1】已知函数f(x)＝|x－3|＋|x－a|，a∈R. (1)当a＝0时，解关于x的不等式f(x)＞4； (2)若∃x∈R，使得不等式|x－3|＋|x－a|＜4成立，求实数a的取值范围． 【变式训练2】已知函数f(x)＝log2(|x＋1|＋|x－2|－a). (1)当a＝7时，求函数f(x)的定义域． (2)若关于x的不等式f(x)≥3的解集是R，求实数a的最大值． 【考点三】不等式的证明问题 【典例3】(2020·全国Ⅲ卷)设a，b，c∈R，a＋b＋c＝0，abc＝1. (1)证明：ab＋bc＋ca＜0； (2)用max表示a，b，c的最大值， 证明：max≥. 【变式训练1】已知a≥0，b≥0，c≥0，且满足a＋2b＋3c＝3. (1)证明：(a＋1)(b＋1)(c＋1)≤； (2)证明：a2＋4b2＋9c2≥3. 【变式训练2】设a＞0，b＞0，且a＋b＝＋. 证明：(1)a＋b≥2； (2)a2＋a＜2与b2＋b＜2不可能同时成立． 参考答案 【考点一】绝对值不等式的解法 【典例1】已知函数f(x)＝|2x－2|－|x－2|. (1)求不等式f(x)<0的解集； (2)若存在x∈R使得f(x)<a成立，求实数a的取值范围． 【解析】(1)由题意可得f(x)＝|2x－2|－|x－2|＝， 因为f(x)<0， 所以或或， 即或或，所以0<x<， 所以不等式f(x)<0的解集为(0，). (2)因为存在x∈R，使得f(x)<a， 所以a>f(x)min， 由(1)可知f(x)＝|2x－2|－|x－2| ＝，作出函数f(x)的图象，如图所示， 由函数f(x)的图象可知f(x)min＝f(1)＝－1， 所以a>－1，所以实数a的取值范围为(－1，＋∞). 【变式训练1】已知函数f(x)＝|x＋1|－|2x－3|. (1)画出y＝f(x)的图象； (2)求不等式|f(x)|＞1的解集． 【解析】(1)f(x)＝ y＝f(x)的图象如图所示． (2)由f(x)的表达式及图象知， 当f(x)＝1时，可得x＝1或x＝3； 当f(x)＝－1时，可得x＝或x＝5. 故f(x)＞1的解集为{x|1＜x＜3}； f(x)＜－1的解集为{x|x＜或x＞5}． 所以|f(x)|＞1的解集为{x|x＜或1＜x＜3或x＞5}． 【变式训练2】 (2021·江南十校一模)已知函数f(x)＝|x|－|2x－1|，记不等式f(x)＞－1的解集为M. (1)求M；(2)已知a∈M，比较a2－a＋1与的大小． 【解析】(1)f(x)＝|x|－|2x－1| ＝ 由f(x)＞－1，得 或或 解得0＜x＜2， 故M＝{x|0＜x＜2}． (2)由(1)知，0＜a＜2， 因为a2－a＋1－＝ ＝， 当0＜a＜1时，＜0， 所以a2－a＋1＜. 当a＝1时，＝0， 所以a2－a＋1＝. 当1＜a＜2时，＞0， 所以a2－a＋1＞.综上所述：当0＜a＜1时，a2－a＋1＜. 当a＝1时，a2－a＋1＝. 当1＜a＜2时，a2－a＋1＞. 【考点二】与绝对值不等式有关的最值(范围)问题 【典例2】(2021·全国乙卷)已知函数f(x)＝|x－a|＋|x＋3|. (1)当a＝1时，求不等式f(x)≥6的解集； (2)若f(x)>－a，求a的取值范围． 【解析】(1)当a＝1时，f(x)＝|x－1|＋|x＋3|，即求|x－1|＋|x＋3|≥6的解集． 当x≥1时，2x＋2≥6，得x≥2； 当－3<x<1时，4≥6，此时没有x满足条件； 当x≤－3时，－2x－2≥6，得x≤－4. 综上，解集为(－∞，－4]∪[2，＋∞). (2)由题意知需求f(x)min>－a，而由绝对值的几何意义知，f(x)min为x到a和－3的距离的和的最小值， 当x在a和－3之间时最小，此时f(x)最小值为|a＋3|，即|a＋3|>－a， a≥－3时，2a＋3>0，得a>－