专题02 二次函数与面积的最值定值问题-2022年中考数学大题狂练之压轴大题突破培优练【江苏专用】

2022年中考数学大题狂练之压轴大题培优突破练（江苏专用） 专题2 二次函数与面积的最值定值问题 本专题共精选2021、和2020和2019年中考真题9道，2021和2020江苏中考模拟题28道，7个题组，每个题组4道解答题，可作为课后作业或每日一练使用. 【真题再现】 1．（2021·江苏南通·中考真题）定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”．例如，点是函数的图象的“等值点”． （1）分别判断函数的图象上是否存在“等值点”？如果存在，求出“等值点”的坐标；如果不存在，说明理由； （2）设函数的图象的“等值点”分别为点A，B，过点B作轴，垂足为C．当的面积为3时，求b的值； （3）若函数的图象记为，将其沿直线翻折后的图象记为．当两部分组成的图象上恰有2个“等值点”时，直接写出m的取值范围． 【答案】（1）函数y=x+2没有“等值点”； 函数的“等值点”为(0，0)，(2，2)；（2）或；（3）或．． 【分析】 （1）根据定义分别求解即可求得答案； （2）根据定义分别求A(，)，B(，)，利用三角形面积公式列出方程求解即可； （3）由记函数y=x2-2（x≥m）的图象为W1，将W1沿x=m翻折后得到的函数图象记为W2，可得W1与W2的图象关于x=m对称，然后根据定义分类讨论即可求得答案． 【详解】 解：（1）∵函数y=x+2，令y=x，则x+2=x，无解， ∴函数y=x+2没有“等值点”； ∵函数，令y=x，则，即， 解得：， ∴函数的“等值点”为(0，0)，(2，2)； （2）∵函数，令y=x，则， 解得：(负值已舍)， ∴函数的“等值点”为A(，)； ∵函数，令y=x，则， 解得：， ∴函数的“等值点”为B(，)； 的面积为， 即， 解得：或； （3）将W1沿x=m翻折后得到的函数图象记为W2． ∴W1与W2两部分组成的函数W的图象关于对称， ∴函数W的解析式为， 令y=x，则，即， 解得：， ∴函数的“等值点”为(-1，-1)，(2，2)； 令y=x，则，即， 当时，函数W的图象不存在恰有2个“等值点”的情况； 当时，观察图象，恰有2个“等值点”； 当时， ∵W1的图象上恰有2个“等值点”(-1，-1)，(2，2)， ∴函数W2没有“等值点”， ∴， 整理得：， 解得：． 综上，m的取值范围为或． 【点睛】 本题属于二次函数的综合题，考查了二次函数、反比例函数、一次函数的性质以及函数的对称性．解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 2．（2021·江苏徐州·中考真题）如图，点在函数的图像上．已知的横坐标分别为－2、4，直线与轴交于点，连接． （1）求直线的函数表达式； （2）求的面积； （3）若函数的图像上存在点，使得的面积等于的面积的一半，则这样的点共有___________个． 【答案】（1）直线AB的解析式为：；（2）6；（3）4 【分析】 （1）将的横坐标分别代入求出生意人y的值，得到A，B点坐标，再运用待定系数法求出直线AB的解析式即可； （2）求出OC的长，根据“”求解即可； （3）分点P在直线AB的上方和下方两种情况根据分割法求解即可． 【详解】 解：（1）∵A，B是抛物线上的两点， ∴当时，；当时， ∴点A的坐标为（-2，1），点B的坐标为（4，4） 设直线AB的解析式为， 把A，B点坐标代入得 解得， 所以，直线AB的解析式为：； （2）对于直线AB： 当时， ∴ ∴==6 （3）设点P的坐标为（，） ∵的面积等于的面积的一半， ∴的面积等于=3， ①当点P在直线AB的下方时，过点A作AD⊥x轴，过点P作PF⊥x轴，过点B作BE⊥x轴，垂足分别为D，F，E，连接PA，PB，如图， ∵ ∴ 整理，得， 解得，， ∴在直线AB的下方有两个点P，使得的面积等于的面积的一半； ②当点P在直线AB的上方时，过点A作AD⊥x轴，过点P作PF⊥x轴，过点B作BE⊥x轴，垂足分别为D，F，E，连接PA，PB，如图， ∵ ∴ 整理，得， 解得，， ∴在直线AB的上方有两个点P，使得的面积等于的面积的一半； 综上，函数的图像上存在点，使得的面积等于的面积的一半，则这样的点共有4个， 故答案为：4． 【点睛】 此题主要考查了运用待定系数法示直线解析式，二次函数与图形面积，注意在解决（3）问时要注意分类讨论． 3．（2021·江苏扬州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴交于点．、，与y轴交于点C． （1）________，________； （2）若点D在该二次函数的图像上，且，求点D的坐标； （3）若点P是该二次函数图像上位于x轴上方的一点，且，直接写出点P的坐标． 【答案】（1）-2，-3；（2）（，6