4.6 函数的运用（二）-2021-2022学年高一数学同步知识梳理+考点精讲精练(人教B版2019必修第二册)

4.6函数的应用（二） 知识梳理 1.几类常见的函数模型 名称 解析式 条件 一次函数模型 y＝kx＋b k≠0 反比例函数模型 y＝＋b k≠0 二次函数模型 y＝ax2＋bx＋c a≠0 指数函数模型 y＝b·ax＋c a＞0且a≠1，b≠0 对数函数模型 y＝m＋n a＞0且a≠1，m≠0 幂函数模型 y＝a＋m a≠0，n≠1 常见考点 考点一 利用函数模型解决实际问题 典例1． 2021年新冠肺炎仍在世界好多国家肆虐，并且出现了传染性更强的“德尔塔”变异毒株､“拉姆达”变异毒株，尽管我国抗疫取得了很大的成绩，疫情也得到了很好的遏制，但由于整个国际环境的影响，时而也会出现一些散发病例，故而抗疫形势依然艰巨，日常防护依然不能有丝毫放松.在日常防护中，口罩是必不可少的防护用品.某口罩生产厂家为保障抗疫需求，调整了口罩生产规模.已知该厂生产口罩的固定成本为万元，每生产万箱，需另投入成本万元，当年产量不足万箱时，；当年产量不低于万箱时，若每万箱口罩售价万元，通过市场分析，该口罩厂生产的口罩当年可以全部销售完. （1）求年利润（万元）关于年产量（万箱）的函数关系式； （2）年产量为多少万箱时，该口罩生产厂家所获得年利润最大？（注：） 【答案】 （1） （2） 【分析】 （1）讨论、，结合题意分别写出对应解析式，最后写出其分段形式的解析式. （2）由（1）所得的函数解析式，分别求出不同区间上的最大值，并比较大小，即可知口罩生产厂家所获得年利润最大时的年产量. （1） 当时，； 当时，， ∴. （2） 当时，， ∴当时，取最大值，最大值为万元； 当时，，， 当时，；当时，； ∴在上单调递增，在上单调递减， ∴当时，取得最大值，且（万元） 又，故当年产量为万箱时，该口罩生产厂所获得年利润最大，年最大利润约为万元. 变式1-1．（2021·重庆十八中两江实验中学高一期中）已知某公司生产的一新款手机的年固定成本为万元，设该公司一年内共生产这种手机万部并全部销售完，且每万部的销售收入为万元，生产这种手机每年需另投入成本万元，且当.时，，当时，. （1）写出年利润（万元）关于年产量（万部）的函数解析式（年利润年销售收入年成本） （2）年产量为多少万部时，该公司所获年利润最大？最大年利润是多少？ 【答案】（1）；（2）年产量为万部时，该公司所获年利润最大，最大年利润是万元. 【分析】 （1）根据公式：年利润年销售收入年成本，分别求出和时的年利润，然后再写成分段函数的形式； （2）分别求出和时的最大值，再比较两者的大小，取较大者为年利润的最大值. 【详解】 （1）当时，， 当时，， . （2）若，， 当时，； 若，， 当且仅当，即时，， 年产量为万部时，该公司所获年利润最大，最大年利润是万元. 变式1-2． 某租赁公司拥有汽车100辆.当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出.已知每辆车的月租金每增加50元，未租出的车将会增加一辆.租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元. （1）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？ （2）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？ 【答案】（1）88辆车；（2）当每辆车的月租金定为4050元时，租赁公司的月收益最大，最大收益为307050元. 【分析】 （1）根据每辆车的月租金每增加50元，未租出的车将会增加一辆可求出结果； （2）根据题意求出租赁公司的月收益关于每辆车的月租金的函数解析式，再根据二次函数知识可求出结果. 【详解】 （1）当每辆车的月租金定为3600元时，未租出的车辆数为，所以这时租出了88辆车. （2）设每辆车的月租金定为x元，则租赁公司的月收益（单位：元） ， 整理得. 所以当时，最大，其最大值为. 所以当每辆车的月租金定为4050元时，租赁公司的月收益最大，最大收益为307050元. 变式1-3． 某厂家拟举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂家的年产量）万件与年促销费用万元（）满足关系式（为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量是万件．已知生产该产品的固定年投入为万元，每生产万件该产品需要再投入万元，厂家将每件产品的销售价定为每件产品年平均成本的倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金）． (1)将该产品的年利润（万元）表示为促销费用（万元）的函数； (2)该厂家年利润的最大值为多少？ 【答案】(1)，；(2)万元． 【分析】 (1)利用时求得，从而求得每件产品的销售价格，再由利润收入费用得到利润万元与促销费用万元的函数关系式. (2)利用基本不等式即可求得. 【详解】 解：(1)由题意可知当时，由，得， 所以． 因为每件产品的销售价格为（元），