4.4幂函数-2021-2022学年高一数学同步知识梳理+考点精讲精练(人教B版2019必修第二册)

4.4幂函数 知识梳理 1.一般地，函数称为幂函数，其中为常数. 注意：幂函数中底数是自变量，而指数函数中指数为自变量. 2.幂函数的图像与性质 （1）五个常见幂函数的图像 （2）五个常见幂函数的性质： 函数 性质 y＝x y＝x2 y＝x3 定义域 R R R 值域 R R 奇偶性 奇 非奇非偶 偶 奇 奇 单调性 R上增 上增 (－∞，0)上减 [0，＋∞)上增 R上增 (－∞，0)上减 (0，＋∞)上减 公共点 （1）所有的幂函数在区间上都有定义，因此在第一象限内都有图像，并且图像都过点. （2）如果，幂函数图像过原点，并且在上是增函数 （3）如果，幂函数图像过原点，并且在上是减函数 常见考点 考点一 求幂函数解析式 典例1．（2021·黑龙江·双鸭山一中高一期中）已知幂函数的图象过点，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 设出幂函数的解析式，代入点的坐标求得参数即得函数解析式后可得函数值． 【详解】 设，由题意，，，． 故选：C． 变式1-1． 幂函数的图象经过点.则（ ） A．8 B． C． D． 【答案】B 【分析】 设出幂函数，代入点，求出，即可求出. 【详解】 设幂函数，因为经过点，所以，解得， 则. 故选：B. 变式1-2．（2021·天津·南开翔宇学校高一期中）若函数的图象经过点，则的值为（ ） A．1 B． C．0 D．2 【答案】B 【分析】 根据幂函数的定义解出函数的解析式，进而求出即可. 【详解】 由题意知，函数图象过点， 所以，即，则，得， 所以，有. 故选：B 变式1-3．（2020·北京通州·高一期中）已知幂函数的图象经过点，则等于（ ） A． B． C． D．4 【答案】D 【分析】 设幂函数（为常数），把已知点坐标代入，求出的值，得到函数的解析式，从而求出的值. 【详解】 解：设幂函数（为常数）， ∵幂函数的图象经过点，∴，∴， ∴，∴， 故选：D. 考点二 幂函数的图像 典例2． 如图是幂函数的部分图象，若n取，四个值，则下图中对应于曲线，，，的n的值依次为（ ） A．，，，3 B．3，，， C．，，3， D．3，，， 【答案】B 【分析】 根据幂函数的图像特征即可求解. 【详解】 当时，幂函数在上单调递增，当时，幂函数在上单调递减，并且在直线的右侧，图象自下而上所对应的函数的幂指数n依次增大. 故选：B. 变式2-1．（2021·山西·怀仁市第一中学校高一期中）已知幂函数的图象关于y轴对称，如图所示，则（ ） A．p为奇数，且 B．p为奇数，且 C．p为偶数，且 D．p为偶数，且 【答案】D 【分析】 从图象的奇偶性与在第一象限的单调性判断解析式的特征 【详解】 因为函数的图象关于y轴对称， 所以函数为偶函数，即p为偶数， 又函数的定义域为， 且在上单调递减， 则有， 所以． 故选：D． 变式2-2． 函数的图象大致是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 从函数的定义域、奇偶性及在第一象限的变化快慢三个方面逐一分析各选项即可判断作答. 【详解】 幂函数定义域为R，选项C不满足； ，有，即是偶函数，选项B不满足； 因，则函数在第一象限单调递增，且增长趋势越来越快，选项A不满足， 显然选项D满足幂函数的上述特点，即大致图象是D. 故选：D 变式2-3． 若幂函数，，在第一象限的图像如图所示，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 在区间（0，1）上，幂函数的指数越大，图象越靠近x轴；在区间（1，+∞）上，幂函数的指数越大，图象越远离x轴．观察幂函数的第一象限图象，由此可得m，n，p的大小关系. 【详解】 因为在区间（0，1）上，幂函数的指数越大，图象越靠近x轴； 所以， 故选：B． 考点三 幂函数的定义域与值域 典例3． 下列函数中，与幂函数有相同定义域的是（ ） A．； B．； C．； D．． 【答案】A 【分析】 由题知幂函数，定义域为，再依次讨论各选项即可得答案. 【详解】 解：幂函数，定义域为， 对于A选项，定义域为，故正确； 对于B选项，定义域为，故错误； 对于C选项，定义域为，故错误； 对于D选项，定义域为，故错误； 故选：A 变式3-1． 下列函数中定义域为的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 对于A：函数，定义域为，不满足条件； 对于B：函数的定义域为，不满足条件； 对于C：，定义域为，不满足条件； 对于D：函数的定义域为R，满足条件； 故选：D 变式3-2．（2021·四川·雅安中学高一月考）设，则使函数的定义域为，且该函数为奇函数的值为（ ） A．或