第四章 4.7　数学建模活动：生长规律的描述-【精讲精练】2023-2024学年高中数学必修第二册人教版B(教师用书)

享学科网书城国 品牌书店·知名数辅·正版资源 b2XXk.com● 您身边的互联网+教辅专家 #4,7数学建模活动：生长规律的描述 数学建模 数学问题一直是数学发展的重要源泉，解决实际问题也一直是数学价值的重要体现.解 决实际问题的重要手段就是数学建模，数学建模是一个重要的核心素养， 1.数学建模是对现实问愿进行数学抽象，用数学语言表达问题，用数学知识与方法构建 模型解决问题的素养.主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问 题、建立模型，求解结论，验证结果并改进模型，最终解决实际问题。 数学建模主要表现为：发现和提出问题，建立和求解模型，检验和完善模型，分析和解 决问题。 2.数学模型搭建了数学与外部世界的桥梁，是数学应用的重要形式，数学建模是应用数 学解决实际问题的基本手段，也是推动数学发展的动力： 3.通过高中数学课程的学习，同学们能有意识地用数学语言表达现实世界，感悟数学与 现实之间的关联，学会用数学模型解决实际问题，积累数学实践的经验：认识数学建模在解 决科学、社会、工程技术等问题中的作用；加深对数学内容的理解；学会交流与合作；提升 应用能力，增强创新意识和科学精神。 建模案例 类型（一）数学模型检验 [案例]某个体经营者把开始六个月试销A,B两种商品的逐月投资与所获纯利润列成下 表： 投资4种商品金额万元 1 2 3 5 6 获纯利润万元 0.65 1.39 1.85 3 1.84 1.40 投资B种商品金额/万元 1 2 3 5 6 获纯利润万元 0.25 0.49 0.76 1.26 1.51 该经营者准备下个月投入12万元经营这两种商品，但不知投入A,B两种商品各多少才 最合算。请你帮助制定一个资金投入方案，使得该经营者能获得最大纯利润，并按你的方案 求出该经营者下个月可获得的最大纯利润（结果保留两位有效数字） [自主解答]以投资额为横坐标，纯利润为纵坐标，在直角坐标系中描点如图. 升纯利润万元 分 2.5 1.5 5 0 23456 投资颜万元 根据图象，可考虑用下列函数分别描述上述两组数据之间的对应关系， ·独家授权侵权必究· 享学科网书城国 品牌书店·知名数辅·正版资源 b2xXk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 y=-ax-4)2+2(a>0),① y=bx,② 把x=1,y=0.65代入①式， 得0.65=-a1-4)2+2, 解得a=0.15 故前六个月所获纯利润关于月投资A种商品的金额的函数解析式可近似地用y=一015 (x-4)2+2表示： 把x=4,y=1代入②式，解得b=025, 故前六个月所获纯利润关于月投资B种商品的金额的函数解析式可近似地用y=0.25x表 示.设下个月投入A,B两种商品的资金分别为x4万元，x万元，总利涧为W万元，得 x4十xB=12,W=yA十yB=-0.15(A-4)2十2+0.25xB.) W=-320alvs4 alcol(xA-f(196))2+320X \avs4alcol(f(196))2+135 所以当x4=196≈32时， W取得最大值，约为41万元， 此时，x=536≈8.8. ●思维提升 (1)根据原始数据、表格，绘出散点图. (②)通过观察散点图，画出拟合直线或拟合曲线， (③)求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式， (④)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据. 类型（二）数学建模实践 [案例]茶水的最佳口感问题 1.发现问题，提出问题 中国茶文化博大精深.茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，经验表明，某种绿茶用 85℃的水泡制，再等到茶水温度降至60℃时饮用，可以产生最佳口感.那么在25℃室温下， 刚泡好的茶水大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感？ 例如，某研究人员每隔1mn测量一次茶水温度，得下表的一组数据. 时间min 0 1 3 4 5 水温℃ 85.00 79.19 74.75 71.19 68.19 65.10 茶水温度是时间的函数，但没有现成的函数模型.为此，可以先画出散点图，利用图象 直观分析这组数据的变化规律，从而帮助我们选择函数类型， 设茶水温度从85℃开始，经过xmn后的温度为y℃.根据上表，画散点图（图1） 独家授权侵权必究 享学科网书城国 品牌书店·知名数辅·正版资源 b2XXk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 80 70 0 123 45x 图1 2.分析问题，建立模型 观察散点图的分布状况，并考虑到茶水温度降至室温就不能再降的事实，可选择函数y =k+25(k∈R,0<a<1,x≥0)来近似地刻画茶水温度随时间变化的规律. 3.确定参数，改进模型 根据实际情况可知，当x=0时，y=85,可得k=60 为了求出温度的衰减比例a,可从第2mi的温度数据开