4.2.1 对数运算-2021-2022学年高一数学同步知识梳理+考点精讲精练(人教B版2019必修第二册)

4.2.1对数运算 知识梳理 1.对数的概念 （1）在表达式ab＝N(a>0且a≠1，N∈(0，＋∞))中，当a与N确定之后，只有唯一的b能满足这个式子，此时，幂指数b称为以a为底N的对数，记作，其中a称为对数的底数，N称为对数的真数. （2）当a>0且a≠1时，b＝logaN的充要条件是，由此可知，只有时，logaN才有意义，这通常简称为负数和零没有对数. （3）loga1＝0；logaa＝1；；logaab＝b. 2.常用对数和自然对数 （1）以10为底的对数称为常用对数，为了简便起见，通常把底10略去不写，并把“log”写成“lg”，即把log10N简写为lgN. （2）以无理数e(e＝2.71828…)为底的对数称为自然对数，自然对数logeN通常简写为lnN. 注意： logaN是一个数，是一种取对数的运算，结果仍是一个数，不可分开书写. 常见考点 考点一 对数概念的判断 典例1． 下列说法中错误的是（ ） A．零和负数没有对数 B．任何一个指数式都可化为对数式 C．以10为底的对数叫做常用对数 D．以e为底的对数叫做自然对数 【答案】B 【分析】 根据对数的性质、定义、常用对数的定义、自然对数的定义进行判断即可. 【详解】 由对数的概念知，指数式中，只有，且的指数式才可以化为对数式，因此零和负数没有对数，把以10为底的对数叫做常用对数，以e为底的对数叫做自然对数， 故选：B 变式1-1． 使有意义的实数a取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 根据对数的特征可得. 【详解】 由题意知，解得，所以实数a的取值范围是． 故选：C. 变式1-2． 在b＝log3a－1(3－2a)中，实数a取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 根据对数的底数大于0且不等于1，真数大于0，列式可解得结果. 【详解】 要使式子b＝log3a－1(3－2a)有意义， 则，解得或. 故选：B. 【点睛】 本题考查了对数的概念，属于基础题. 变式1-3． 使对数有意义的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 根据底大于零且不等于1，真数大于零列不等式组，解不等式组即可. 【详解】 使对数有意义的需满足, 解得． 故选B． 【点睛】 本题考查对数式的性质，对数式中底数大于0且不等于1，真数大于0，是基础题． 考点二 指数式与对数式的互化 典例2． 将下列指数式化为对数式（其中，）： （1）； （2）. 【答案】（1）；（2）. 【分析】 由对数的定义即得. 【详解】 （1）由得，； （2）由得，. 变式2-1． 求出下列各式的值，并写出对应的对数式： （1）23；（2）82；（3）4-3；（4）8.80 【答案】（1），对应的对数式为：；（2），对应的对数式为：；（3），对应的对数式为：；（4），对应的对数式为： 【分析】 直接由指数式与对数式的互化公式,则，将各式化为对数式. 【详解】 （1），对应的对数式为： （2），对应的对数式为： （3），对应的对数式为： （4），对应的对数式为： 【点睛】 本题考查指数式求值和将指数式化为对数式，属于基础题. 变式2-2． 将下列指数式与对数式互化: （1）；（2）；（3）；（4）；（5）(x>0，且x≠1，y>0). 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）(x>0，且x≠1，y>0) 【分析】 根据对数的定义：，可写出各等式对应的对数或指数形式 【详解】 (1) (2) (3) (4) (5) (x>0，且x≠1，y>0) 【点睛】 本题考查了对数的概念；根据将等式转化为对应的对数或指数形式 变式2-3． 方程的解为________． 【答案】 【分析】 利用指对数的互化即可解答. 【详解】 根据对数的概念可得方程的解为：， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了对数的概念，属于基础题． 考点三 对数求值 典例3． 的值为___________. 【答案】 【分析】 利用对数的运算性质即可求解. 【详解】 ， 故答案为：. 变式3-1． 计算___________. 【答案】0 【分析】 根据对数的性质及指对数的关系，即可求值. 【详解】 由对数的基本性质、指对数的关系，知：. 故答案为：0. 变式3-2． 若，则________. 【答案】 【分析】 利用对数为0，真数为1，底数的对数为1，即可得答案； 【详解】 ，故. 故答案为：. 【点睛】 本题考查对数的概念及运算，属于基础题. 变式3-3． 求下列各式的值： （1）； （2）； （3）； （4）. 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）. 【分析】 （1）令，根据指对数的关系得，求x即可； （2）令，根据指对数的关系得，求x即可； （3