4.2对数与对数函数 4.2.1对数运算（题型归纳+课后作业） -2021-2022学年高一数学同步精讲精练（人教B版2019必修第二册）

第四章 指数函数、对数函数与幂函数 4.2 对数与对数函数 4.2.1 对数运算 题型归纳 题型一.指、对运算 1．计算下列各式： （1）lg25+lg2+lglg（0.01）﹣1； （2）2log32﹣log3log38﹣3log55； （3）（lg5）2+lg2•lg50． 【解答】解：（1）原式； （2）原式； （3）原式＝（lg5）2+lg2•（lg5+1）＝lg5•（lg5+lg2）+lg2＝lg5+lg2＝lg10＝1． 2．已知lg2≈0.3010，lg3≈0.4771． （1）求lg15的值； （2）求lg的值． 【解答】解：（1）∵lg2≈0.3010， ∴lg5＝1﹣lg2≈1﹣0.3010＝0.6990． ∴lg15＝1g3+1g5＝1.1761． （2）∵lg3＝0.4771， ∴0.8266． 题型二.换底公式 1．计算 （1）； （2）． 【解答】解：（1） （2） ＝18+lg（6+4）＝19． 2．设a，b，c都是正数，且，那么（　　） A． B． C． D． 【解答】解：设k，k＞0，且k≠1； 所以ak，bk，ck； 所以logk， logk， logk， 所以logklogklogk2logk． 故选：D． 题型三.条件求值问题 1．已知log189＝a，18b＝5，则log3645用a，b可表示为log3645＝　　． 【解答】解：∵log189＝a，18b＝5，∴log185＝b， ∴a+b＝log189+log185＝log18（9×5）＝log1845， log1836＝log18（2×18）＝1+log182＝1+log182﹣log189＝2﹣a， ∴log3645． 故答案为：． 2．（1）已知loga2＝m，loga3＝n，则a2m+n＝　12　； （2）设3a＝4b＝36，则　1　． 【解答】解：（1）∵loga2＝m，loga3＝n， ∴am＝2，an＝3， ∴a2m+n＝a2m•an＝4×3＝12． （2）∵3a＝4b＝36， ∴a＝log336，b＝log436， ∴log369+log364＝log3636＝1． 故答案为：12；1． 3．已知5x＝2y＝（）z，且x，y，z≠0，求的值． 【解答】解：令5x＝2y＝（）x＝t， 则x＝log5t，y＝log2t，z， 则2（lg5+lg2）＝2． 题型四.解指、对方程 1．解下列方程： （1）（lgx﹣lg3）＝lg5lg（x﹣10）； （2）lgx+2log10xx＝2； （3）（2x2﹣3x+1）＝1． 【解答】解：（1）因为x＞10，则方程可变形为， 则，即x2﹣10x﹣75＝0， 解得x＝15或x＝﹣5（舍）， 经检验，x＝15是原方程的解； （2）因为x＞0且x，则原方程可变形为， 即（lgx）2+lgx﹣2＝0，解得lgx＝1或lgx＝﹣2， 所以x＝10或x， 经检验，x＝10或x都是原方程的解； （3）方程中的x应该满足x2﹣1＞0且x2﹣1≠1， 解得x＞1或x＜﹣1且， 由2x2﹣3x+1＞0，解得x或x＞1， 综上可得，x＜﹣1或x＞1且， 则原方程可变形为x2﹣1＝2x2﹣3x+1，即x2﹣3x+2＝0， 解得x＝2或x＝1（舍）， 所以x＝2， 经检验，x＝2是原方程的解． 2．已知lgx+lgy＝2lg（x﹣2y），则的值为　4　． 【解答】解：lgx+lgy＝2lg（x﹣2y）， ∴x，y＞0，x﹣2y＞0，可得：2． ∴xy＝（x﹣2y）2，化为：54＝0，2． 解得4． 则4． 故答案为：4． 3．已知关于x的方程（lgx）2+（lg7+lg5）lgx+lg7•lg5＝0的两个根分别为α，β，求α•β的值． 【解答】解：因为（lgx）2+（lg7+lg5）lgx+lg7•lg5＝0可看做关于lgx的二次方程， 因为的两个根分别为α，β， 所以lgα，lgβ可看做关于lgx的二次方程的根， 所以lgα+lgβ＝﹣（lg7+lg5）＝lg， 所lg（αβ）＝lg， 所以αβ， 题型五.数学文化、数学新定义 1．十六、十七世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急，约翰•纳皮尔正是在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数，后来天才数学家欧拉发现了对数与指数的关系，即ab＝N⇔b＝logaN．现已知a＝log26，3b＝36，则　1　，　　． 【解答】解：a＝log26，3b＝36， 则b＝log336＝2log36 则log62+log63＝log66＝1， log23＝log2， 则2， 故答案为：1，． 2．青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法