2022届高考数学二轮复习考点突破十三-表面积与体积的计算问题试卷

考点突破十三　表面积与体积的计算问题 　几何体的表面积 【典例1】如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，侧面AA1C1C⊥底面ABC，∠C1CA＝60°，AB⊥AC，AC＝AB＝AA1＝2. (1)求证：CA1⊥BC1； (2)求三棱柱ABC­A1B1C1的侧面积． 【变式训练】如图所示，在四棱锥P­ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD＝60°，PA⊥平面ABCD，PA＝2，AB＝1，设M，N分别为PD，AD的中点． (1)求证：平面CMN∥平面PAB； (2)求三棱锥A­CMN的侧面积． 【考点二】几何体的体积 【典例2】如图，在四棱锥P­ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，底面ABCD为梯形，AB∥CD，CD＝2AB＝2，且△PAD与△ACD均为正三角形，G为 △PAD的重心．求三棱锥G­PAB的体积． 【变式训练】在四棱台ABCD­A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的菱形，AA1＝A1B1＝1，∠BAD＝120°，AA1⊥平面ABCD.求四棱锥C­ABB1A1的体积． 参考答案 　几何体的表面积 【典例1】如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，侧面AA1C1C⊥底面ABC，∠C1CA＝60°，AB⊥AC，AC＝AB＝AA1＝2. (1)求证：CA1⊥BC1； (2)求三棱柱ABC­A1B1C1的侧面积． 【解析】(1)如图所示： 连接AC1，因为AC＝AA1，所以侧面ACC1A1是菱形，所以AC1⊥CA1， 因为侧面AA1C1C⊥底面ABC，且平面ABC∩平面AA1C1C＝AC，AB⊥AC， 所以AB⊥平面AA1C1C， 又因为CA1⊂平面AA1C1C，所以CA1⊥AB， 又因为AC1∩AB＝A，所以CA1⊥平面C1AB， 又因为BC1⊂平面C1AB，所以CA1⊥BC1； (2)如图，设棱CA的中点为D，连接C1D，BD， 则C1D⊥AC，所以C1D⊥底面ABC，因为BD⊂平面ABC，从而C1D⊥BD. 由∠C1CA＝60°，AC＝AB＝AA1＝2， 得：AD＝1，DC1＝， 所以BC＝BD2＋DC＝BA2＋AD2＋DC＝8， 在△BCC1中，由余弦定理得： cos ∠BCC1＝＝， 即sin ∠BCC1＝， 所以＝CB·CC1sin ∠BCC1＝2， 由(1)知AB⊥平面AA1C1C，AA1⊂平面AA1C1C， 所以AA1⊥AB，＝AB·AA1＝4， 又＝CA·C1D＝2，所以三棱柱ABC­A1B1C1的侧面积为4＋2＋2． 【变式训练】如图所示，在四棱锥P­ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD＝60°，PA⊥平面ABCD，PA＝2，AB＝1，设M，N分别为PD，AD的中点． (1)求证：平面CMN∥平面PAB； (2)求三棱锥A­CMN的侧面积． 【解析】(1)因为M，N分别为PD，AD的中点，所以MN∥PA， 又MN⊄平面PAB，PA⊂平面PAB，所以MN∥平面PAB， 在Rt△ACD中，∠CAD＝60°，CN＝AN，所以∠ACN＝60°，又∠BAC＝60°，所以CN∥AB， 因为CN⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，所以CN∥平面PAB， 又CN∩MN＝N，所以平面CMN∥平面PAB. (2)因为PA⊥平面ABCD，AN⊂平面ABCD，CN⊂平面ABCD， 由(1)可知MN∥PA，所以MN⊥AN，MN⊥CN， 因为∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD＝60°，PA＝2，AB＝1，所以AC＝2AB＝2，AD＝2AC＝4，MN＝PA＝1， 由(1)可知CN＝AN＝AD＝2， 在Rt△CMN中，AM＝CM＝＝＝，所以S△ACN＝AN·CN·sin 60°＝×2×2×＝， 又S△AMN＝AN·MN＝×2×1＝1， 在△ACM中，AM＝CM，所以AC边上的高h＝＝＝2， 所以S△ACM＝AC·h＝×2×2＝2， 所以三棱锥A­CMN的侧面积S＝S△ACN＋S△AMN＋S△ACM＝3＋. 【考点二】几何体的体积 【典例2】如图，在四棱锥P­ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，底面ABCD为梯形，AB∥CD，CD＝2AB＝2，且△PAD与△ACD均为正三角形，G为 △PAD的重心．求三棱锥G­PAB的体积． 【解析】因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD， 在△PAD中，连接PG并延长交AD于点M，连接BM，PM⊥AD，所以PM⊥平面ABCD， 则VG­PAB＝VP­ABM－VG­ABM， 因为CD＝2，AB＝，△ACD为正三角形，则AD＝2，所以PM＝3，PG＝2，GM＝1，而∠DAC＝∠ACD＝60°＝∠CAB，则∠MAB＝120°， 所以S△MAB＝AM·AB·sin 120°＝， 所以VG­PAB＝××3－××1＝. 【变式训练】在