2022届高考数学二轮复习考点突破八-圆锥曲线中的最值、范围问题练习卷

考点突破八　圆锥曲线中的最值、范围问题 【考点一】圆锥曲线中的求值(方程)问题 【典例1】(2020·全国卷Ⅱ)已知椭圆C1：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合．过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|＝|AB|. (1)求C1的离心率； (2)设M是C1与C2的公共点，若|MF|＝5，求C1与C2的标准方程． 【变式1】若本例中，斜率为的直线(不过原点)与C2交于两点M，N，以MN为直径的圆过原点，试求直线l的方程． 【变式2】(2021·保定一模)已知F1，F2是椭圆E1：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，曲线E2：y2＝4x的焦点恰好也是F2，O为坐标原点，过椭圆E1的左焦点F1作与x轴垂直的直线交椭圆于M，N，且△MNF2的面积为3. (1)求椭圆E1的方程； (2)过F2作直线l交E1于A，B，交E2于C，D，且△ABF1与△OCD的面积相等，求直线l的斜率． 【考点二】圆锥曲线中的最值问题　 【典例2】(12分)(2021·全国乙卷)已知抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，且F与圆M：x2＋(y＋4)2＝1上点的距离的最小值为4. (1)求p； (2)若点P在M上，PA，PB是C的两条切线，A，B是切点，求△PAB面积的最大值． 【变式】(2021·全国乙卷)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F到准线的距离为2. (1)求C的方程； (2)已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足＝9，求直线OQ斜率的最大值． 【考点三】圆锥曲线中的范围问题 【典例3】(2021·新余二模)已知抛物线C：y2＝2x上一点P(2，2)，圆M：(x－4)2＋y2＝r2(0＜r≤)，过点P(2，2)引圆M的两条切线PA，PB与抛物线C分别交于A，B两点，与圆M的切点分别为E，F. (1)当r＝时，求E，F所在直线的方程； (2)记线段AB的中点的横坐标为t，求t的取值范围． 【变式】(2021·枣庄二模)已知动点M与两个定点O(0，0)，A(3，0)的距离的比为，动点M的轨迹为曲线C. (1)求C的方程，并说明其形状； (2)过直线x＝3上的动点P(3，p)(p≠0)分别作C的两条切线PQ，PR(Q，R为切点)，N为弦QR的中点，直线l：3x＋4y＝6分别与x轴、y轴交于点E，F，求△NEF的面积S的取值范围． 参考答案 【考点一】圆锥曲线中的求值(方程)问题 【典例1】(2020·全国卷Ⅱ)已知椭圆C1：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合．过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|＝|AB|. (1)求C1的离心率； (2)设M是C1与C2的公共点，若|MF|＝5，求C1与C2的标准方程． 【解析】(1)因为F是椭圆C1的右焦点，且AB⊥x轴， 所以F(c，0)，直线AB的方程为x＝c， 联立得＝1－＝， 又因为a2＝b2＋c2，所以y2＝， 解得y＝±，则|AB|＝， 因为点F(c，0)是抛物线C2的焦点，所以抛物线C2的方程为y2＝4cx，联立解得 所以|CD|＝4c，因为|CD|＝|AB|， 即4c＝，2b2＝3ac，即2c2＋3ac－2a2＝0， 即2e2＋3e－2＝0， 因为0＜e＜1，解得e＝，因此，椭圆C1的离心率为. (2)由(1)知a＝2c，b＝c，椭圆C1的方程为 ＋＝1， 联立 消去y并整理得3x2＋16cx－12c2＝0， 解得x＝c或x＝－6c(舍去)，由抛物线的定义可得|MF|＝c＋c＝＝5，解得c＝3.因此，曲线C1的标准方程为＋＝1，曲线C2的标准方程为y2＝12x. 【变式1】若本例中，斜率为的直线(不过原点)与C2交于两点M，N，以MN为直径的圆过原点，试求直线l的方程． 【解析】设直线l的方程为：y＝x＋t，M(x1，y1)，N(x2，y2)，由得y2－8y＋8t＝0， 由题意Δ＝64－32t>0，所以t<2，且t≠0， 所以y1y2＝8t，x1x2＝yy＝t2， 因为以MN为直径的圆过原点，所以x1x2＋y1y2＝0，所以t2＋8t＝0，解得：t＝－18或t＝0(舍去)， 所以直线l的方程为y＝x－18，即3x－2y－36＝0. 【变式2】(2021·保定一模)已知F1，F2是椭圆E1：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，曲线E2：y2＝4x的焦点恰好也是F2，O为坐标原点，过椭圆E1的左焦点F1作与x轴垂直的直线交椭圆于M，N，且△MNF2的面积为3. (1)求椭圆E1的方程； (2)过F2作直线l交E1于A，B，交E2于C，D，且△ABF1与△OCD的面积相等，求直线l的斜率． 【解析】(1)因为曲线E2：y2＝4x的焦点恰好也