2022届高考数学二轮复习考点突破五-圆锥曲线中的定点、定值问题练习卷

考点突破五　圆锥曲线中的定点、定值问题 【考点一】圆锥曲线中的定点问题 【典例1】(2021·滨州一模)已知点A(0，－1)，B(0，1)，动点P满足||||＝·.记点P的轨迹为曲线C. (1)求C的方程； (2)设D为直线y＝－2上的动点，过D作C的两条切线，切点分别是E，F.证明：直线EF过定点． 【变式1】本例若改为： 已知点A(0，4)，B(0，1)，动点P满足|PA|＝2|PB|，设动点P的轨迹为曲线E. (1)求曲线E的轨迹方程； (2)若Q是直线l：y＝x－4上的动点，过Q作曲线E的两条切线QM，QN，切点为M，N，探究：直线MN是否过定点，若存在定点请写出坐标，若不存在则说明理由． 【变式2】已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的长轴与短轴长度之比为2∶，焦距为2. (1)求椭圆C的标准方程； (2)设左焦点为F，l为过点F的一条直线，交椭圆C于M、N两点，过点N做x轴的垂线，交椭圆C于点P，连接PM.求证直线PM恒过定点． 【考点二】圆锥曲线中的定值问题　 【典例2】(12分)(2021·新高考Ⅰ卷)在平面直角坐标系xOy中，已知点F1(－，0)，F2(，0)，点M满足|MF1|－|MF2|＝2，记M的轨迹为C. (1)求C的方程； (2)设点T在直线x＝上，过T的两条直线分别交C于A，B两点和P，Q两点，且|TA|·|TB|＝|TP|·|TQ|，求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和． 【变式】已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)经过点(，1)，离心率为. (1)求椭圆C的方程； (2)设直线l：y＝kx＋t(t≠0)与椭圆C相交于A，B两点，若以OA，OB为邻边的平行四边形OAPB的顶点P在椭圆C上，求证：平行四边形OAPB的面积为定值． 参考答案 【考点一】圆锥曲线中的定点问题 【典例1】(2021·滨州一模)已知点A(0，－1)，B(0，1)，动点P满足||||＝·.记点P的轨迹为曲线C. (1)求C的方程； (2)设D为直线y＝－2上的动点，过D作C的两条切线，切点分别是E，F.证明：直线EF过定点． 【解析】(1)设P(x，y)，则＝(－x，－1－y)，＝(－x，1－y)，＝(0，2)，＝(0，－2)， 所以||||＝·，＝1＋y 化简得x2＝4y，所以C的方程为x2＝4y. (2)由题意可设D(t，－2)，E(x1，y1)，F(x2，y2)， 由题意知切线DE，DF的斜率都存在， 由x2＝4y，得y＝，则y′＝，所以kDE＝， 直线DE的方程为y－y1＝(x－x1)，即y－y1＝x－，① 因为E(x1，y1)在x2＝4y上，所以x＝4y1，即＝2y1，② 将②代入①得x1x－2y1－2y＝0， 所以直线DE的方程为x1x－2y1－2y＝0， 同理可得直线DF的方程为x2x－2y2－2y＝0， 因为D(t，－2)在直线DE上，所以tx1－2y1＋4＝0，又D(t，－2)在直线DF上，所以tx2－2y2＋4＝0，所以直线EF的方程为tx－2y＋4＝0， 故直线EF过定点(0，2). 【变式1】本例若改为： 已知点A(0，4)，B(0，1)，动点P满足|PA|＝2|PB|，设动点P的轨迹为曲线E. (1)求曲线E的轨迹方程； (2)若Q是直线l：y＝x－4上的动点，过Q作曲线E的两条切线QM，QN，切点为M，N，探究：直线MN是否过定点，若存在定点请写出坐标，若不存在则说明理由． 【解析】(1)设点P的坐标为(x，y)，|PA|＝2|PB|， 即＝2，整理得x2＋y2＝4，所以曲线E的轨迹方程为x2＋y2＝4； (2)依题意，ON⊥QN，OM⊥QM，则M，N都在以OQ为直径的圆F上， 因为Q是直线l：y＝x－4上的动点， 设Q(t，t－4)，则圆F的圆心为，且经过坐标原点即圆的方程为x2＋y2－tx－(t－4)y＝0. 又因为M，N在曲线E：x2＋y2＝4上， 由， 可得tx＋(t－4)y－4＝0， 即直线MN的方程为tx＋(t－4)y－4＝0. 由t∈R且t(x＋y)－4y－4＝0可得，，解得，所以直线MN过定点(1，－1). 【变式2】已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的长轴与短轴长度之比为2∶，焦距为2. (1)求椭圆C的标准方程； (2)设左焦点为F，l为过点F的一条直线，交椭圆C于M、N两点，过点N做x轴的垂线，交椭圆C于点P，连接PM.求证直线PM恒过定点． 【解析】(1)设椭圆的长轴长为2a，短轴长为2b，焦距为2c 所以2a∶2b＝2∶且2c＝2，a2＝b2＋c2，所以a＝2，b＝，c＝1， 所以椭圆方程为＋＝1； (2)由题意可知F(－1，0)，直线l的斜率存在， 故设直线l的方程为y＝k(x＋1)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，P(x2，－y2)， 所以，得(3＋4k2)x2＋8k2x