2022届高考数学二轮复习考点突破四-圆锥曲线中的存在性与证明问题练习卷

考点突破四　圆锥曲线中的存在性与证明问题 【考点一】圆锥曲线中的存在性问题 【典例1】(2021·承德二模)已知M(－2，0)，N(2，0)，动点P满足：直线PM与直线PN的斜率之积为常数－，设动点P的轨迹为曲线C1.抛物线C2：x2＝2py(p＞0)与C1在第一象限的交点为A，过点A作直线l交曲线C1于点B，交抛物线C2于点E(点B，E不同于点A). (1)求曲线C1的方程． (2)是否存在不过原点的直线l，使点E为线段AB的中点？若存在，求出p的最大值；若不存在，请说明理由． 【变式1】本例若改为： 如图，已知椭圆C1：＋y2＝1，抛物线C2：y2＝2px(p＞0)，点A是椭圆C1与抛物线C2的交点，过点A的直线l交椭圆C1于点B，交抛物线C2于M(B，M不同于A).若存在不过原点的直线l使M为线段AB的中点，求p的最大值． 【变式2】(2021·泰安一模)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，短轴长为2. (1)求椭圆C的方程； (2)已知A，B是椭圆C上的两个不同的动点，以线段AB为直径的圆经过坐标原点O.是否存在以O为圆心的定圆恒与直线AB相切？若存在，求出定圆方程；若不存在，请说明理由． 【考点二】圆锥曲线中的证明问题　 【典例2】(12分)设椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点．若椭圆E的离心率为，△ABF2的周长为4. (1)求椭圆E的方程； (2)设不经过椭圆的中心O而平行于弦AB的直线交椭圆E于点C，D，设弦AB，CD的中点分别为M，N，证明：O，M，N三点共线． 【变式训练】已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的一个焦点为(－，0)，且过点. (1)求椭圆C的方程； (2)设A1(－a，0)，A2(a，0)，B(0，b)，点M是椭圆C上一点，且不与顶点重合，若直线A1B与直线A2M交于点P，直线A1M与直线A2B交于点Q，求证：△BPQ为等腰三角形． 参考答案 【考点一】圆锥曲线中的存在性问题 【典例1】(2021·承德二模)已知M(－2，0)，N(2，0)，动点P满足：直线PM与直线PN的斜率之积为常数－，设动点P的轨迹为曲线C1.抛物线C2：x2＝2py(p＞0)与C1在第一象限的交点为A，过点A作直线l交曲线C1于点B，交抛物线C2于点E(点B，E不同于点A). (1)求曲线C1的方程． (2)是否存在不过原点的直线l，使点E为线段AB的中点？若存在，求出p的最大值；若不存在，请说明理由． 【解析】(1)设动点P(x，y)， 则kPM＝，kPN＝， 因为kPMkPN＝－，所以·＝－， 所以＋y2＝1(x≠±2)， 所以曲线C1的方程为＋y2＝1(x≠±2). (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，E(x0，y0)， 直线l：y＝kx＋m(k≠0，m≠0)， 联立，得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，所以x1＋x2＝，x0＝， 又，得x2＝2p(kx＋m)， 即x2－2pkx－2pm＝0，所以x1x0＝－2pm， 所以x1·＝－2pm，所以x1＝p， 因为，所以x2＋＝4， 所以p2＋＝4， 所以p2＝， 设＝＝t≥4，则p2＝， 当k＝，即t＝4时，p2取得最大值，最大值为，即p＝，此时A，直线l不过点M，N， 所以存在不过原点的直线l，使点E为线段AB的中点，且p的最大值为. 【变式1】本例若改为： 如图，已知椭圆C1：＋y2＝1，抛物线C2：y2＝2px(p＞0)，点A是椭圆C1与抛物线C2的交点，过点A的直线l交椭圆C1于点B，交抛物线C2于M(B，M不同于A).若存在不过原点的直线l使M为线段AB的中点，求p的最大值． 【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x3，y3)，C(－x1，－y1)，则OM∥BC，kAM·kOM＝kAB·kBC＝·＝＝－，则kAM·kOM＝·＝·＝·＝－⇒y＋y3y1＋8p2＝0，若y3存在，则Δ＝y－32p2≥0. 由于＋2px1＝1⇒x1＝－2p＋，于是y＝2px1＝－4p2＋2p， 故－4p2＋2p≥32p2⇒≥18p⇒p≤.于是p的最大值为，此时x1＝，y1＝，即在A时取得． 【变式2】(2021·泰安一模)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，短轴长为2. (1)求椭圆C的方程； (2)已知A，B是椭圆C上的两个不同的动点，以线段AB为直径的圆经过坐标原点O.是否存在以O为圆心的定圆恒与直线AB相切？若存在，求出定圆方程；若不存在，请说明理由． 【解析】(1)由题意，解得：， 所以椭圆C的方程为：＋＝1. (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为：x＝my＋t， 联立方程，消去x得：(m2＋3)y2＋2mty＋(t2－6)＝0， 所以y1＋y