专题04 二次函数与相似问题-挑战2022年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘（全国通用）

挑战2022年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘 专题4二次函数与相似全等问题 函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径 ① 求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边和角的特点，进而得出已知三角形是否为特殊三角形。根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论。 ②或利用已知三角形中对应角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边的大小。 ③若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度，之后利用相似来列方程求解。 相似三角形常见的判定方法： （1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似； 这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形． （2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似； （3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似； （4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似． 判定定理“两边及其夹角法”是常用的解题依据，一般分三步：寻找一组等角，分两种情况列比例方程，解方程并检验． 如果已知∠A＝∠D，探求△ABC与△DEF相似，只要把夹∠A和∠D的两边表示出来，按照对应边成比例，分和两种情况列方程． 应用判定定理“两角法”解题，先寻找一组等角，再分两种情况讨论另外两组对应角相等． 应用判定定理“三边法”解题不多见，根据三边对应成比例列连比式解方程（组）． 还有一种情况，讨论两个直角三角形相似，如果一组锐角相等，其中一个直角三角形的锐角三角比是确定的，那么就转化为讨论另一个三角形是直角三角形的问题． 【例1】（2021•阿坝州）如图1，直线y＝﹣x+b与抛物线y＝ax2交于A，B两点，与y轴于点C，其中点A的坐标为（﹣4，8）． （1）求a，b的值； （2）将点A绕点C逆时针旋转90°得到点D． ①试说明点D在抛物线上； ②如图2，将直线AB向下平移，交抛物线于E，F两点（点E在点F的左侧），点G在线段OC上．若△GEF∽△DBA（点G，E，F分别与点D，B，A对应），求点G的坐标． 【分析】（1）利用待定系数法，把问题转化为解方程组即可． （2）①如图1中，分别过点A，D作AM⊥y轴于点M，DN⊥y轴于点N．利用全等三角形的性质求出点D的坐标，可得结论． ②设E（t，t2），求出直线EG，FG的解析式，构建方程组求出点G的坐标，再根据点G的横坐标为O，构建方程组求出t，即可解决问题． 【解析】（1）由题意，得， 解得． （2）①如图1中，分别过点A，D作AM⊥y轴于点M，DN⊥y轴于点N． 由（1）可知，直线AB的解析式为y＝﹣x+6， ∴C（0，6）， ∵∠AMC＝∠DNC＝∠ACD＝90°， ∴∠ACM+∠DCN＝90°，∠DCN+∠CDN＝90°， ∴∠ACM＝∠CDN， ∵CA＝CD， ∴△AMC≌△CND（SAS）， ∴AN＝AM＝4，DN＝CM＝2， ∴D（﹣2，2）， 当x＝﹣2时，y＝×22＝2， ∴点D在抛物线y＝x2上． ②由，解得或， ∴点B的坐标为（3，）， ∴直线AD的解析式为y＝﹣3x﹣4，直线BD的解析式为y＝x+3， 设E（t，t2）， ∴直线EF的解析式为y＝﹣x+t2+t， 由，解得或， ∴F（﹣t﹣1，（t+1）2）， ∵△GEF∽△DBA，EF∥AB， 由题意可知，EG∥DB，GF∥AD， ∴直线EG的解析式为y＝x+t2﹣，直线FG的解析式为y＝﹣3x+（t+1）2﹣3（t+1）， 联立，解得， ∴G（﹣t﹣，t2﹣t﹣）， 令﹣t﹣＝0， 解得t＝﹣， ∴G（0，）． 【例2】（2021•陕西）已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（﹣5，0）和点B，与y轴交于点C（0，5），它的对称轴为直线l． （1）求该抛物线的表达式及点B的坐标； （2）若点P（m，2）在l上，点P′与点P过关于x轴对称．在该抛物线上，是否存在点D、E、F，使四边形P′DEF与四边形P′BPA位似，且位似中心是P′？若存在，求点D、E、F的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1用待定系数法可得抛物线的表达式为y＝x2+6x+5，令y＝0即可得B（﹣1，0）； （2）延长AP'交抛物线于D，延长BP'交抛物线于F，对称轴交抛物线于E，由y＝x2+6x+5＝（x+3）2﹣4知：E（﹣3，﹣4），抛物线对称轴为直线x＝﹣3，故P（﹣3，2），P'（﹣3，﹣2），即得PP'＝4，P'E＝2，由A（﹣5，0），P'（﹣3，﹣2）可得直线AP'为y＝﹣x﹣5，解得D（﹣2，﹣3），故AP'＝2，P'D＝，同理可得BP'＝2，P'F