专题03 二次函数与等腰直角三角形问题-挑战2022年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘（全国通用）

挑战2022年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘 专题3二次函数与等腰直角三角形问题 二次函数与等腰直角三角形的相结合的综合问题，是中考数学压轴题中比较常见的一种，涉及到的知识点有：等腰直角三角形的性质、直角三角形的性质、斜边的中线、全等三角形与相似三角形、角平分线、方程与函数模型、函数的基本性质等。等腰直角三角形与二次函数综合问题常见的有三种类型：两定一动探索直角三角形问题；一定两动探索等腰直角三角形问题；三动探索等腰直角三角形问题；常见的思路中，不管是哪种类型的等腰直角三角形三角形问题，分类讨论的依据都是三个角分别为直角，解决的思路是通过构造K型全等或相似图来列方程解决。 【例1】（2021•广安）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与坐标轴相交于A、B、C三点，其中A点坐标为（3，0），B点坐标为（﹣1，0），连接AC、BC．动点P从点A出发，在线段AC上以每秒个单位长度向点C做匀速运动；同时，动点Q从点B出发，在线段BA上以每秒1个单位长度向点A做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接PQ，设运动时间为t秒． （1）求b、c的值． （2）在P、Q运动的过程中，当t为何值时，四边形BCPQ的面积最小，最小值为多少？ （3）在线段AC上方的抛物线上是否存在点M，使△MPQ是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）过点P作PH⊥x轴，垂足为E，利用S四边形BCPQ＝S△ABC﹣S△APQ表示出四边形BCPQ的面积，求出t的范围，利用二次函数的性质求出最值即可； （3）画出图形，过点P作x轴的垂线，交x轴于E，过M作y轴的垂线，与EP交于F，证明△PFM≌△QEP，得到MF＝PE＝t，PF＝QE＝4﹣2t，得到点M的坐标，再代入二次函数表达式，求出t值，即可算出M的坐标． 【解答】解：（1）∵二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点A（3，0），B（﹣1，0）， 则 ， 解得：； （2）由（1）得：抛物线表达式为y＝﹣x2+2x+3，C（0，3），A（3，0）， ∴△OAC是等腰直角三角形， ∴∠BAC＝45°， 由点P的运动可知：AP＝t， 过点P作PH⊥x轴，垂足为H，如图， ∴AH＝PH＝＝t，即H（3﹣t，0）， 又Q（﹣1+t，0）， ∴S四边形BCPQ＝S△ABC﹣S△APQ ＝ ＝ ＝（t﹣2）2+4， ∵当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动， AC＝，AB＝4， ∴0≤t≤3， ∴当t＝2时，四边形BCPQ的面积最小，最小值为4； （3）存在．假设点M是线段AC上方的抛物线上的点， 如图，过点P作x轴的垂线，交x轴于E，过M作y轴的垂线，与EP交于F，连接MQ，MP． ∵△PMQ是等腰直角三角形，PM＝PQ，∠MPQ＝90°， ∴∠MPF+∠QPE＝90°，又∠MPF+∠PMF＝90°， ∴∠PMF＝∠QPE， 在△PFM和△QEP中， ， ∴△PFM≌△QEP（AAS）， ∴MF＝PE＝t，PF＝QE＝4﹣2t， ∴EF＝4﹣2t+t＝4﹣t， 又OE＝3﹣t， ∴点M的坐标为（3﹣2t，4﹣t）， ∵点M在抛物线y＝﹣x2+2x+3上， ∴4﹣t＝﹣（3﹣2t）2+2（3﹣2t）+3， 解得：t＝或（舍）， ∴M点的坐标为（，）． 【例2】（2021•上海）已知抛物线y＝ax2+c（a≠0）经过点P（3，0）、Q（1，4）． （1）求抛物线的解析式； （2）若点A在直线PQ上，过点A作AB⊥x轴于点B，以AB为斜边在其左侧作等腰直角三角形ABC． ①当Q与A重合时，求C到抛物线对称轴的距离； ②若C在抛物线上，求C的坐标． 【分析】（1）P（3，0）、Q（1，4）代入y＝ax2+c即可得抛物线的解析式为y＝﹣x2+； （2）①过C作CH⊥AB于H，交y轴于G，A与Q（1，4）重合时，AB＝4，GH＝1，由△ABC是等腰直角三角形，得CH＝AH＝BH＝AB＝2，C到抛物线对称轴的距离是CG＝1； ②过C作CH⊥AB于H，先求出直线PQ为y＝﹣2x+6，设A（m，﹣2m+6），则AB＝﹣2m+6，yC＝﹣m+3，xC＝﹣（﹣m+3﹣m）＝2m﹣3，将C（2m﹣3，﹣m+3）代入y＝﹣x2+解得m＝或m＝3（与P重合，舍去），即可求出C（﹣2，）． 【解答】解：（1）P（3，0）、Q（1，4）代入y＝ax2+c得： ，解得， ∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+； （2）①过C作CH⊥AB于H，交y轴于G，如图： 当A与Q（1，4）重合时，AB＝4，GH＝1， ∵△ABC是等腰直角三角形， ∴△ACH和△BCH也是等腰直角三角形， ∴CH＝AH＝BH