2022届高考数学二轮复习考点突破一- 三角函数及解三角形的综合问题练习

考点突破一 三角函数及解三角形的综合问题 【考点一】三角函数的图象与性质的应用 【典例1】(2021·浙江高考)设函数f(x)＝sin x＋cos x(x∈R). (1)求函数y＝的最小正周期； (2)求函数y＝f(x)f在上的最大值． 【变式训练】　 1.(2021·银川三模)已知函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)的部分图象如图所示． (1)求函数f(x)的解析式； (2)若方程f(x)＝m在上有两个不同的实根，求m的取值范围． 2.已知函数f(x)＝4sin (x－)cos x＋. (1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间； (2)若函数g(x)＝f(x)－m在上有两个不同的零点x1，x2，求实数m的取值范围，并计算tan (x1＋x2)的值． 【考点二】利用正弦定理、余弦定理求三角形的边与角　 【典例2】(12分)(2021·新高考Ⅰ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b2＝ac，点D在边AC上，BD sin ∠ABC＝a sin C. (1)证明：BD＝b； (2)若AD＝2DC，求cos ∠ABC. 【变式训练】 1.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝3，且A＝C＋，5c－4a＝15cos A，求c. 　 【变式1】若把本题条件“5c－4a＝15cos A”改为“△ABC的面积S＝3”，其他条件不变，求c. 　 【变式2】若把本题条件“A＝C＋”改为“△ABC的面积S＝3”，其他条件不变，求c. 2.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.设(sin B－sin C)2＝sin2A－sin B sin C. (1)求A； (2)若a＋b＝2c，求sin C． 3．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a cos C＋c cos A＋2b cos B＝0. (1)求B； (2)若b＝6，求△ABC面积S的最大值． 【考点三】三角函数与解三角形知识的交汇 【典例3】已知函数f(x)＝sin ωx cos ωx－sin2ωx＋1(ω>0)的图象中相邻两条对称轴之间的距离为. (1)求ω的值及函数f(x)的单调递减区间； (2)已知a，b，c分别为△ABC中角A，B，C的对边，且满足a＝，f(A)＝1，求△ABC面积S的最大值． 【变式训练】 1.将函数f(x)＝sin x＋cos x图象上所有点向右平移个单位长度，然后横坐标缩短为原来的(纵坐标不变)，得到函数g(x)的图象． (1)求函数g(x)的解析式及单调递增区间； (2)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sin (－B)cos (＋B)＝，c＝g()，b＝2，求△ABC的面积． 2.已知函数f(x)＝sin2ωx－sin2(ωx－)(x∈R，ω为常数且＜ω＜1)，函数f(x)的图象关于直线x＝π对称． (1)求函数f(x)的最小正周期； (2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝1，f(A)＝，求△ABC面积的最大值． 【考点四】正弦定理、余弦定理在实际问题中的应用 【典例4】 如图所示，在一条海防警戒线上的点A，B，C处各有一个水声监测点，B，C两点到点A的距离分别为20 km和50 km.某时刻，B收到发自静止目标P的一个声波信号，8 s后A，C同时接收到该声波信号，已知声波在水中的传播速度是1.5 km/s. (1)设A到P的距离为x km，用x表示B，C到P的距离，并求x的值； (2)求静止目标P到海防警戒线AC的距离． 【变式训练】 1.在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东45°方向，相距 12 n mile的水面上，有蓝方一艘小艇正以10 n mile/h的速度沿南偏东75°方向前进，若红方侦察艇以14 n mile/h的速度，沿北偏东45°＋α方向拦截蓝方的小艇．若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角α的正弦值． 2.已知在东西方向上有M，N两座小山，山顶各有一座发射塔A，B，塔顶A，B的海拔高度分别为AM＝100 m和BN＝200 m，一测量车在小山M的正南方向的点P处测得发射塔顶A的仰角为30°，该测量车向北偏西60°方向行驶了100 m后到达点Q，在点Q处测得发射塔顶B处的仰角为θ，且∠BQA＝θ，经测量tan θ＝2，求两发射塔顶A，B之间的距离． 参考答案 【考点一】三角函数的图象与性质的应用 【典例1】(2021·浙江高考)设函数f(x)＝sin x＋cos x(x∈R). (1)求函数y＝的最小正周期； (2)求函数y＝f(x)f在上的最大值． 【解析】(1)由辅助角公式得 f(x)＝sin x＋cos x＝sin ， 则y＝2＝2 ＝2sin 2＝1－c