2022届高考数学二轮专项突破训练十四 圆锥曲线中的最值

专项突破练十四　圆锥曲线中的最值、范围问题 1．(2021·鹰潭三模)已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的右顶点为A(，0)，离心率为，过点B(0，－2)及左焦点F1的直线交椭圆于C，D两点，右焦点设为F2. (1)求椭圆的方程； (2)求△CDF2的面积． 2．已知点A(0，1)，点B在y轴负半轴上，以AB为边作菱形ABCD，且菱形ABCD对角线的交点在x轴上，设点D的轨迹为曲线E. (1)求曲线E的方程； (2)过点M(m，0)，其中1＜m＜4，作曲线E的切线，设切点为N，求△AMN面积的取值范围． 3．抛物线x2＝2py(p＞0)的焦点为F，过焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，点A到x轴的距离等于|AF|－1. (1)求抛物线的方程； (2)过F与AB垂直的直线和过B与x轴垂直的直线相交于点M，AM与y轴交于点N，求点N的纵坐标的取值范围． 4．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率e＝，且经过点，点F1，F2为椭圆C的左、右焦点． (1)求椭圆C的方程； (2)过点F1分别作两条互相垂直的直线l1，l2，且l1与椭圆交于不同两点A，B，l2与直线x＝1交于点P.若＝λ，且点Q满足＝λ，求△PQF1面积的最小值． 5．(2021·山东省实验中学月考)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)过点M，且分别以椭圆的长轴和短轴为直径的圆的面积的比值为4. (1)求椭圆C的标准方程； (2)若直线y＝kx(k＞0)与椭圆C交于A，B两点，过点A作直线AB的垂线，交椭圆C于点D，连接BD，与x，y轴分别交于点P，Q，过原点O作直线BD的垂线，垂足为R，求|OR|·|PQ|的最大值． 6．(2021·德州一模)已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆上的点到焦点F1的距离的最小值为－1，以椭圆E的短轴为直径的圆过点(2，0). (1)求椭圆E的标准方程； (2)若过F2的直线交椭圆E于A，B两点，过F1的直线交椭圆E于C，D两点，且AB⊥CD，求四边形ACBD面积的取值范围． 参考答案 1． 【解析】(1)由题意可得，a＝， 又e＝＝＝， 所以c＝1，则b2＝a2－c2＝1. 可得椭圆方程为＋y2＝1. (2)因为F1(－1，0)，所以直线BF1的方程为y＝－2x－2，由 得9x2＋16x＋6＝0. 因为Δ＝162－4×9×6＝40＞0，所以直线与椭圆有两个公共点， 设为C(x1，y1)，D(x2，y2)， 则 所以|CD|＝·|x1－x2| ＝· ＝·＝， 又点F2到直线BF1的距离d＝， 故＝|CD|·d＝××＝. 2． 【解析】(1)设B(0，－t)(t＞0)，菱形ABCD的中心在x轴上，设为Q点． 由题意可知，|OQ|2＝|OA||OB|，则Q(，0)或(－，0)， 当Q在x轴正半轴时，Q为BD的中点， 因此点D(2，t)， 即点D的轨迹为(t为参数且t≠0)， 化为标准方程为x2＝4y(x>0). 同理可知Q在x轴负半轴时，x2＝4y(x<0). 综上，E的方程为x2＝4y(x≠0). (2)设点N，过点N的切线方程为：y－＝(x－a)，点M(m，0)在该切线上，所以M，即m＝，由1＜m＜4， 可得2＜a＜8， 又kMN＝，kAM＝－，则kMNkAM＝－1， 即NM⊥AM， 所以S＝|MN||AM|＝ · ＝， 可知当2＜a＜8时，S为关于a的增函数，因此S的取值范围是(1，34). 3． 【解析】(1)由抛物线定义可知＝1，即p＝2，所以抛物线的方程为x2＝4y. (2)由(1)知F(0，1)， 设A，B，直线l的方程为y＝kx＋1， 由 消去y并整理得x2－4kx－4＝0， 所以x1＋x2＝4k，x1·x2＝－4，所以k＝. 由题意得直线MF的方程是y＝－x＋1， 所以M. 设N(0，n)，由M，N，A三点共线，可知＝， 所以＝，所以(x2－x1)＝x1－－， 所以－－n(x2－x1) ＝x1＋－， 所以－x1－n(x2－x1)＝x1＋， 所以n＝2x1＋， 所以n＝＝2＋， 所以x－4＝＞－4(x1≠0)， 所以或解得n＞2或n＜0，即点N的纵坐标的取值范围是(－∞，0)∪(2，＋∞). 4． 【解析】(1)由题意，得 解得a2＝4，b2＝3，所以椭圆的方程为＋＝1. (2)由(1)可得F1(－1，0)， 若直线l1的斜率为0，则l2的方程为x＝－1，与直线x＝1无交点，不满足条件， 设直线l1：x＝my－1，若m＝0，则λ＝1，不满足＝λ，所以m≠0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，Q(x0，y0)， 由得(3m2＋4)y2－6my－9＝0， 所以y1＋y2＝，y1y2＝－， 因为 即 则－y1＝λy2，y1－y0＝λ(y2－y0)， 所以λ＝－＝， 解得y0＝＝－， 于是|F1Q