专项突破练八 表面积与体积的计算问题——2022届新高考数学二轮复习专项突破练

专项突破练八　表面积与体积的计算问题 1．(2021·江西联考)在长方形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝3，E，F分别为AB，CD的中点，沿对角线AC把纸片折成空间四边形ABCD′. (1)求四面体ABCD′的外接球的表面积； (2)当折起到平面ACD′垂直于平面ABC的位置时，求四面体A­EFC的体积． 2．(2021·全国甲卷)已知直三棱柱ABC­A1B1C1中，侧面AA1B1B为正方形．AB＝BC＝2，E，F分别为AC和CC1的中点，BF⊥A1B1. (1)求三棱锥F­EBC的体积； (2)已知D为棱A1B1上的点，证明：BF⊥DE. 3．(2021·景德镇模拟)如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠APB＝，∠ABC＝，PB＝2，2PA＝AD＝PC＝4，点M是AB的中点，点N是线段BC上的动点． (1)求证：平面PCM⊥平面PAB； (2)若点N到平面PCM的距离为，求的值． 4．为了更直观地让学生认识棱锥的几何特征，某教师计划制作一个正四棱锥教学模型．现有一个无盖的长方体硬纸盒，其底面是边长为20 cm的正方形，高为10 cm，将其侧棱剪开，得到展开图，如图1所示． P1，P2，P3，P4分别是所在边的中点，剪去阴影部分，再沿虚线折起，使得P1，P2，P3，P4四个点重合于点P，正好形成一个正四棱锥P­ABCD，如图2所示，设AB＝x(单位：cm). (1)若x＝10，求正四棱锥P­ABCD的表面积； (2)当x取何值时，正四棱锥P­ABCD的体积最大． 5．(2021·海南模拟)在矩形ABCD中，将△ABC沿其对角线AC折起来得到四面体B1­ACD，且平面AB1D⊥平面ACD. (1)证明：平面AB1C⊥平面B1CD； (2)若AB＝1，BC＝2，求折起后三棱锥B1­ACD的表面积、体积． 6．(2021·临汾二模)如图，在半径为的半球O中，平行四边形ABCD是圆O的内接四边形，AD＝AB，点P是半球面上的动点，且四棱锥P­ABCD的体积为. (1)求动点P的轨迹T围成的平面图形的面积； (2)是否存在点P使得二面角P­AD­B的大小为？请说明理由． 参考答案 1． 【解析】(1)设AC的中点为O，依题意可知，OA＝OB＝OC＝OD′，所以点O为四面体ABCD′的外接球的球心，显然，其半径R＝AC＝，故外接球的表面积S球＝4πR2＝25π. (2)由等面积法易得Rt△D′AC斜边AC上的高为，当平面ACD′⊥平面ABC时，显然，Rt△D′AC斜边AC上的高即为三棱锥D′­ABC的高，又E，F分别是AB，CD′的中点，所以四面体A­EFC的体积VA­EFC＝VF­AEC＝VD′­ABC＝××6×＝. 2． 【解析】(1)依题设可知：BF＝，∠ABF＝90°，设AC＝x，则AF＝，又因为BF⊥A1B1，BF⊥AB，在Rt△ABF中，由勾股定理得：AF2＝AB2＋BF2，即1＋x2＝22＋5，所以x＝2，所以△ABC为等腰直角三角形，所以S△EBC＝S△ABC＝1， 又因为三棱锥F­EBC的高h＝FC＝1， 所以VF­EBC＝S△EBCh＝. (2)连接A1E，取BC中点M，连接B1M，EM. 由E，M为AC，BC中点，得EM∥AB. 又AB∥A1B1，A1B1∥EM，则A1，B1，M，E共面，故DE平面A1B1ME. 又在侧面BCC1B1中，△FCB≌△MBB1， 则BF⊥MB1. BF⊥平面A1B1ME，则BF⊥DE. 3． 【解析】(1)在△PAB中，因为∠APB＝，PB＝2，PA＝2， 所以AB＝4，因为点M是AB的中点， 所以BM＝PM＝2， 在△BMC中∠MBC＝，得CM＝2， 所以BM2＋CM2＝BC2，所以AB⊥CM， 在△PMC中，PM＝2，CM＝2，PC＝4， 满足PM2＋CM2＝PC2， 所以PM⊥CM，而AB∩PM＝M， 所以CM⊥平面PAB，因为CM平面PCM，所以平面PCM⊥平面PAB. (2)过点P作PO⊥AB，垂足为O，由(1)可知CM⊥平面PAB，因为CM平面ABCD，所以平面ABCD⊥平面PAB，平面ABCD∩平面PAB＝AB，所以PO⊥平面ABCD. 由VP­MNC＝VN­PMC得·S△MNC·PO＝·S△PMC·d， 因为d＝，解得NC＝3，所以＝. 4． 【解析】在正四棱锥P­ABCD中，连接AC，BD，交于点O，设BC中点为E，连接PE，EO，PO. (1)因为AB＝10，所以OE＝5，PE＝15， 所以正四棱锥P­ABCD的表面积 S表＝S正方形ABCD＋4S△PBC＝10×10＋4××10×15＝400(cm2)， 所以正四棱锥P­ABCD的表面积为400 cm2. (2)因为AB＝x，所以OE＝，PE＝20－(0<x<20)， 所以PO＝＝2