2022届高考数学二轮复习专项突破训练五 数列的综合应用

专项突破练五　数列的综合应用 1．(2021·全国甲卷)记Sn为{an}的前n项和，已知an＞0，a2＝3a1，且数列{}是等差数列．证明：{an}是等差数列． 2．(2021·菏泽一模)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且an＋1＝2Sn＋2，数列{bn}满足b1＝2，(n＋2)bn＝nbn＋1，其中n∈N*. (1)分别求数列{an}和{bn}的通项公式； (2)在an与an＋1之间插入n个数，使这n＋2个数组成一个公差为cn的等差数列，求数列{bncn}的前n项和Tn. 3．已知Sn为数列{an}的前n项和，a1＝1，Sn＝an＋1－1. (1)求{an}的通项公式； (2)若数列{bn}满足2bn＋1＋Sn＋1＝2bn＋2an，证明数列{an＋bn}为等差数列，并求其公差． 4．(2021·全国乙卷)设{an}是首项为1的等比数列，数列{bn}满足bn＝.已知a1，3a2，9a3成等差数列． (1)求{an}和{bn}的通项公式； (2)记Sn和Tn分别为{an}和{bn}的前n项和．证明：Tn<. 5. (2021·广州三模)已知正项数列和，Sn为数列的前n项和，且满足4Sn＝a＋2an，an＝2log2bn(n∈N*). (1)分别求数列和的通项公式； (2)将数列中与数列相同的项剔除后，按从小到大的顺序构成数列，记数列的前n项和为Tn，求T100. 6．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，{bn}是各项均为正数的等比数列，a1＝b4，______，b2＝8，b1－3b3＝4，是否存在正整数k，使得数列的前k项和Tk>？若存在，求出k的最小值；若不存在，说明理由． 从①S4＝20，②S3＝2a3，③3a3－a4＝b2这三个条件中任选一个，补充到上面问题中并作答． 7．设数列的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＋1－2Sn＝1(n∈N*). (1)求证：数列为等比数列； (2)若数列满足：b1＝1，bn＋1＝＋. ①求数列的通项公式； ②是否存在正整数n，使得＝4－n成立？若存在，求出所有n的值；若不存在，请说明理由． 参考答案 1． 【证明】设{}的公差为d， 则d＝－＝－＝， 所以＝＋(n－1)＝n，所以Sn＝n2a1， 所以an＝Sn－Sn－1＝n2a1－(n－1)2a1＝(2n－1)a1(n≥2)， 经检验：当n＝1时也满足，故an＝(2n－1)a1， 所以an－an－1＝(2n－1)a1－(2n－3)a1＝2a1， 所以{an}是以a1为首项，2a1为公差的等差数列． 2． 【解析】(1)因为an＋1＝2Sn＋2，所以an＋2＝2Sn＋1＋2， 两式相减整理得：an＋2＝3an＋1，所以等比数列{an}的公比q＝＝3， 又当n＝1时，有a2＝2S1＋2，即3a1＝2a1＋2，解得：a1＝2，所以an＝2×3n－1， 因为b1＝2，(n＋2)bn＝nbn＋1，所以＝， 所以bn＝×××…×××b1＝×××…×××2＝n(n＋1)，n≥2， 又当n＝1时，b1＝2也适合上式，所以bn＝n(n＋1)； (2)由(1)可得：cn＝＝＝， 所以bncn＝4n×3n－1，所以Tn＝4(1×30＋2×31＋3×32＋…＋n×3n－1)， 又3Tn＝4(1×31＋2×32＋…＋n×3n)， 两式相减得：－2Tn＝4(1＋3＋32＋…＋3n－1－n×3n)＝4(－n×3n)， 整理得：Tn＝(2n－1)·3n＋1. 3． 【解析】(1)当n≥2时，由Sn＝an＋1－1，得Sn－1＝an－1， 两式相减得Sn－Sn－1＝an＋1－1－(an－1)，即an＋1＝2an(n≥2)， 又因为S1＝a2－1，所以a2＝2＝2a1. 综上是以1为首项，2为公比的等比数列，所以an＝2n－1. (2)由Sn＝an＋1－1，得Sn＋1＝an＋2－1＝2an＋1－1， 又2bn＋1＋Sn＋1＝2bn＋2an，所以2bn＋1＋2an＋1－1＝2bn＋2an， 即bn＋1＋an＋1＝bn＋an＋，所以是以为公差的等差数列． 4． 【解析】(1)设{an}的公比为q，则an＝qn－1. 因为a1，3a2，9a3成等差数列， 所以1＋9q2＝2×3q，解得q＝，故an＝. 又bn＝，所以bn＝. (2)因为an＝，所以Sn＝＝. 又bn＝，则Tn＝＋＋＋…＋＋， 两边同乘，则Tn＝＋＋＋…＋＋， 两式相减，得Tn＝＋＋＋＋…＋－， 即Tn＝－＝－， 整理得Tn＝－＝－， 2Tn－Sn＝2－＝－<0，故Tn<. 5. 【解析】(1)因为4Sn＝a＋2an，所以n≥2时，4Sn－1＝a＋2an－1， 两式相减得4an＝a－a＋2an－2an－1，(an＋an－1)(an－an－1－2)＝0， 因为an>0，所以an－an－1＝2， 又4a1