2022届高考数学二轮复习专项突破训练三 三角函数及解三角形的综合问题

专项突破练三　三角函数及解三角形的综合问题 1．已知函数f(x)＝sin2x＋sin x cos x. (1)求f(x)的最小正周期． (2)若f(x)在区间上的最大值为，求m的最小值． 2．(2020·新高考全国卷Ⅰ)在①ac＝，②c sin A＝3，③c＝b这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由． 问题：是否存在△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin A＝sin B，C＝，________？ 3．(2021·兰州二模)已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b sin A cos C＋c sin A cos B＝. (1)求sin A； (2)若a＝3，b＝4，求c. 4．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a sin ＝b sin A. (1)求B. (2)若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围． 5．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知＝. (1)求B； (2)当b＝3，求△ABC的周长的最大值． 6．(2021·包头二模)如图，某生态园将一三角形地块ABC的一角APQ开辟为水果园种植桃树，已知角A为120°，AB，AC的长度均大于200 m，现在边界AP，AQ处建围墙，在PQ处围竹篱笆． (1)若围墙AP，AQ总长度为200 m，如何围可使得三角形地块APQ的面积最大？ (2)已知AP段围墙高1 m，AQ段围墙高1.5 m，造价均为100元/ m2.若围围墙用了20 000元，应如何围可使竹篱笆用料最省？ 参考答案 1． 【解析】(1)由已知，f(x)＝(1－cos 2x)＋sin 2x ＝sin 2x－cos 2x＋ ＝sin (2x－)＋， 所以f(x)的最小正周期为T＝＝π. (2)显然m>－，若x∈， 则2x∈，2x－∈[－，2m－]， 因为f(x)在区间上的最大值为，所以2m－≥，即m≥，当2x－＝，即x＝时，f(x)在上取得最大值，符合题意，故m的最小值为. 2． 【解析】方案一：选条件①. 由C＝和余弦定理得＝. 由sin A＝sin B及正弦定理得a＝b. 于是＝，由此可得b＝c. 由①ac＝，解得a＝，b＝c＝1. 因此，选条件①时问题中的三角形存在，此时c＝1. 方案二：选条件②. 由C＝和余弦定理得＝. 由sin A＝sin B及正弦定理得a＝b. 于是＝， 由此可得b＝c，B＝C＝，A＝. 由②c sin A＝3，所以c＝b＝2，a＝6. 因此，选条件②时问题中的三角形存在，此时c＝2. 方案三：选条件③. 由C＝和余弦定理得＝. 由sin A＝sin B及正弦定理得a＝b. 于是＝，由此可得b＝c. 由③c＝b与b＝c矛盾． 因此，选条件③时问题中的三角形不存在． 3． 【解析】(1)因为b sin A cos C＋c sin A cos B＝，所以由正弦定理，得sin B sin A cos C＋sin C sin A cos B＝， 因为sin A≠0，所以sin B cos C＋sin C cos B＝，所以sin (B＋C)＝， 所以sin(π－A)＝，所以sin A＝. (2)方法一：因为△ABC为锐角三角形，所以A为锐角，因为sin A＝，所以cos A＝. 因为a＝3，b＝4，由余弦定理得(3)2＝42＋c2－2×4×c×， 所以c2－2c－2＝0，所以c＝＋1. 方法二：因为△ABC为锐角三角形，所以A，B为锐角，因为a＝3，b＝4， 所以由正弦定理得sin B＝＝＝，所以cos B＝.因为sin A＝，所以cos A＝. 所以sin C＝sin [π－(A＋B)]＝sin (A＋B)＝sin A cos B＋cos A sin B＝，由正弦定理得c＝＝＋1. 4． 【解析】(1)由题设及正弦定理得 sin A sin ＝sin B sin A.因为sin A≠0，所以sin ＝sin B. 由A＋B＋C＝180°，可得sin ＝cos ， 故cos ＝2sin cos .因为cos ≠0，故sin ＝，因此B＝60°. (2)由题设及(1)知△ABC的面积S△ABC＝a. 由正弦定理得a＝＝＝＋. 由于△ABC为锐角三角形，故0°<A<90°，0°<C<90°，由(1)知A＋C＝120°，所以30°<C<90°，故<a<2，从而<S△ABC<. 因此，△ABC面积的取值范围是(，). 5． 【解析】(1)因为＝， 所以＝，所以a2－ac＝b2－c2， 所以b2＝a2＋c2－ac且b2＝a2＋c2－2ac cos B， 所以cos B＝，所以B＝； (2)因为b2＝a2＋c2－ac＝9， 所以(a＋c)2