专项突破练十六 圆锥曲线中的存在性与证明问题——2022届新高考数学二轮专项突破练

专项突破练十六 圆锥曲线中的存在性与证明问题 1.已知点F为抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点,点A(2,m)在抛物线E上,且|AF|=3. (1)求抛物线E的方程; (2)已知点G(-1,0),延长AF交抛物线E于点B,证明:以点F为圆心且与直线GA相切的圆,必与直线GB相切. 2.(2020·新高考全国Ⅰ卷)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,且过点A(2,1). (1)求C的方程; (2)点M,N在C上,且AM⊥AN,AD⊥MN,D为垂足.证明:存在定点Q,使得|DQ|为定值. 3.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的某三个顶点形成边长为2的正三角形,O为C的中心. (1)求椭圆C的方程; (2)P在C上,过C的左焦点F且平行于OP的直线与C交于A,B两点,是否存在常数λ,使得|AF|·|BF|=λ|OP|2?若存在,求出λ的值;若不存在,说明理由. 4.(2021·银川二模)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,椭圆C与y轴交于点A,B(点B在x轴下方),D(0,4),直径为BD的圆过点E(-a,0). (1)求椭圆C的标准方程; (2)过D点且不与y轴重合的直线与椭圆C交于点M,N,设直线AN与BM交于点T,证明:点T在直线y=1上. 5.(2021·临沂一模)如图,抛物线E:y2=2px的焦点为F,四边形DFMN为正方形,点M在抛物线E上,过焦点F的直线l交抛物线E于A,B两点,交直线ND于点C. (1)若B为线段AC的中点,求直线l的斜率; (2)若正方形DFMN的边长为1,直线MA,MB,MC的斜率分别为k1,k2,k3,则是否存在实数λ,使得k1+k2=λk3?若存在,求出λ;若不存在,请说明理由. 6.(2021·绍兴二模)已知抛物线C1:x2=4y和椭圆C2:+=1.如图,经过抛物线C1焦点F的直线l分别交抛物线C1和椭圆C2于A,B,C,D四点,抛物线C1在点A,B处的切线交于点P. (1)求点P的纵坐标; (2)设M为线段AB的中点,PM交C1于点Q,BQ交AP于点T.记△TCD,△QBP的面积分别为S1,S2. (ⅰ)求证:Q为线段PM的中点; (ⅱ)若=,求直线l的方程.