2022届高考数学二轮专项突破练十五 圆锥曲线中的定点、定值问题

专项突破练十五　圆锥曲线中的定点、定值问题 1．已知抛物线C：y2＝4x，点A、B在抛物线上，且分别位于x轴的上、下两侧，若·＝5，判断直线AB是否过定点． 2．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的短轴长为2，且椭圆C的离心率为. (1)求椭圆C的方程； (2)过椭圆C的上焦点作相互垂直的弦AB，CD，求证：＋为定值． 3．已知抛物线E：y2＝4x，过抛物线焦点F的直线l分别交抛物线E和圆F：(x－1)2＋y2＝1于点A，C，D，B(自上而下). (1)求证：|AC|·|BD|为定值； (2)若|AC|，|CD|，|DB|成等差数列，求直线l的方程． 4．已知椭圆C：＋＝1，A、B分别为椭圆长轴的左、右端点，M为直线x＝2上异于点B的任意一点，连接AM交椭圆于P点． (1)若S△AOP＝3S△MOP，求直线AM的方程； (2)是否存在x轴上的定点Q，使得以MP为直径的圆恒过MQ与BP的交点？如果存在，请求出定点Q的坐标；如果不存在，请说明理由． 5．(2020·全国卷Ⅰ)已知A，B分别为椭圆E：＋y2＝1(a>1)的左、右顶点，G为E的上顶点，·＝8，P为直线x＝6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D. (1)求E的方程； (2)证明：直线CD过定点． 6．(2021·烟台一模)已知F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，△AF1F2是面积为4的直角三角形． (1)求椭圆C的方程； (2)设圆O：x2＋y2＝上任意一点P处的切线l交椭圆C于点M，N，问：·是否为定值？若是，求出此定值；若不是，说明理由． 参考答案 1． 【解析】设直线AB的方程为x＝my＋b， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立， 整理可得y2－4my－4b＝0， 所以y1y2＝－4b，x1x2＝＝b2， 因为·＝5⇒x1x2＋y1y2＝5， 所以b2－4b＝5，可得b＝5或b＝－1， 因为点A，B在抛物线上，且分别位于x轴的上、下两侧，所以y1y2＝－4b＜0，可得b＞0， 所以b＝5，所以直线恒过点(5，0). 2． 【解析】(1)由题意可知2b＝2，b＝1， 又椭圆离心率为，则a＝， 故椭圆C的方程为＋x2＝1. (2)当直线AB的斜率不存在或为零时，＋＝，当直线AB的斜率存在且不为零时，设直线AB的方程为y＝kx＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由消y得(k2＋2)x2＋2kx－1＝0， 所以x1＋x2＝－，x1x2＝－， 所以|AB|＝＝，同理可得|CD|＝， 所以＋＝＋＝＝. 3． 【解析】(1)由题意，F(1，0)，圆F的半径为1， ①当直线l的斜率不存在时，l：x＝1，交点A(1，2)，B(1，－2)，C(1，1)，D(1，－1)， 此时|AC|·|BD|＝1×1＝1； ②当直线l的斜率存在时，设直线方程为y＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立，得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0. Δ＝16(k2＋1)＞0.则x1＋x2＝2＋，x1x2＝1， 由抛物线的定义，|AC|＝|AF|－|CF|＝x1＋1－1＝x1， 同理|BD|＝x2.所以|AC|·|BD|＝x1x2＝1； 综上所述，|AC|·|BD|为定值． (2)由|AC|，|CD|，|DB|成等差数列， 得|AC|＋|BD|＝2|CD|＝4. 所以弦长|AB|＝|AC|＋|CD|＋|DB|＝6. 由(1)知，显然斜率存在，由抛物线的定义得|AB|＝x1＋x2＋2＝6. 故4＋＝6，解得k＝±. 所以直线l的方程为y＝±(x－1). 4． 【解析】(1)设P(x0，y0)，M(2，m)， 因为S△AOP＝3S△MOP，所以＝3， 因为A(－2，0)，所以(x0＋2，y0)＝3(2－x0，m－y0).整理得，即P(1，)， 代入椭圆方程＋＝1，解得：m＝±， 所以M(2，±).所以kAM＝±，故直线AM的方程为y＝(x＋2)或y＝－(x＋2). (2)设直线的方程为y＝k(x＋2)(k≠0)， P(x0，y0)，由得M(2，4k)， 由得(2k2＋1)x2＋8k2x＋8k2－4＝0， Δ＝(8k2)2－4(2k2＋1)(8k2－4)＝16＞0， 因为A(－2，0)，所以－2x0＝，于是x0＝，所以P(，). 假设存在定点Q(t，0)满足要求，则·＝0， 因为B(2，0)，所以＝(2－t，4k)，＝(，)， 所以(2－t)＋＝0， 整理得tk2＝0， 因为k≠0，所以t＝0， 所以存在x轴上的定点Q(0，0)，使得以MP为直径的圆恒过MQ与BP的交点． 5． 【解析】(1)依据题意作图如图所示： 由题设得A(－a，0)，B(a，0)，G(0，1). 则＝(a，1)，＝(a，－1). 由·＝8得