专题01 圆锥曲线专题突破01——定点与定线问题-2022年高考数学圆锥曲线压轴题专项突破

圆锥曲线题型突篇破01——定点与定线问题 题型一 斜率和积定值，第三边过定点（手电筒模型） 【手电筒模型】直线 与椭圆 交于A，B两点， 为椭圆上异于AB的任意一点，若 定值或 定值(不为0)，则直线AB会过定点． (因为三条直线形似手电筒，固名曰手电筒模型)． 补充：若 过定点，则 定值， 定值. 【法一：单联立】——设y＝kx＋m 解题步骤：证明AB过定点，即找出y＝kx＋m中k与m的关系 Step1：设AB直线y＝kx＋m，联立曲线方程得根与系数关系，△求出参数范围； Step2：由AP与BP关系(如 )，得一次函数k＝f(m)或者m＝f(k)； Step3：将k＝f(m)代入y＝kx＋m，得y＝kx＋f(k) 【法二：双联立】——设2条直线，用斜率k表示A，B坐标，进而得到直线AB的参数方程 Step1：设直线PA，与椭圆联立，解出A点坐标是含k的式子； Step2：利用 与 的关系设出直线PB，解出B点坐标（同理可得）； 利用AB两点写出直线方程，找到恒过点． 【法三：坐标平移+齐次化处理】（左加右减，上减下加为曲线平移） Step1：平移点P到原点，那 或 就变成只需求一次韦达定理即可， Step2：化齐次联立，由韦达定理得到2个参数之间的关系 Step3：求得m，n之间的关系，得出定点，此时别忘了，还要平移回去! 巩固练习（第1题为例题） 1．已知椭圆 ，设直线 不经过 点且与 相交于 ， 两点．若直线 与直线 的斜率的和为 ，证明： 过定点． 【2020山东新高考第22题】 2．已知椭圆 的离心率为 ，且过点 ． （1）求 的方程； （2）点 ， 在 上，且 ， ， 为垂足．证明：存在定点 ，使得 为定值． 3．已知椭圆 的离心率为 ， 是椭圆 上的一点． （1）求椭圆 的方程； （2）过点 作直线 与椭圆 交于不同两点 、 ， 点关于 轴的对称点为 ，问直线 是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是．请说明理由． 4．已知 过点 ， ，且与 内切，设 的圆心 的轨迹为曲线 ． （1）求曲线 的方程： （2）设直线 不经过点 且与曲线 相交于 ， 两点．若直线 与直线 的斜率之积为 ，判断直线 是否过定点，若过定点，求出此定点坐标；若不过定点，请说明理由． 5．已知椭圆 的右焦点为 ，过点 的直线（不与 轴垂直）与椭圆 相交于 ， 两点，直线 与 轴相交于点 ，过点 作 ，垂足为 ． （1）求四边形 为坐标原点）面积的取值范围； （2）证明：直线 过定点 ，并求点 的坐标． 6．在平面直角坐标系 中，椭圆 的左，右顶点分别为 ， ． 是椭圆的右焦点， ， ． （1）求椭圆 的方程； （2）不过点 的直线 交椭圆 于 ， 两点，记直线 ， ， 的斜率分别为 ， ， ．若 ，证明直线 过定点，并求出定点的坐标． 7．已知椭圆 的左、右焦点分别为 、 ，点 为椭圆的左顶点，点 为上顶点， 且 ． （1）求椭圆 的方程； （2）过点 作直线 交椭圆 于 、 两点，记 、 的斜率分别为 、 ，若 ，求直线 的方程． 8．在平面直角坐标系中，已知动点 到点 的距离为 ，到直线 距离为 ，且 ，记动点 的轨迹为曲线 ． （1）求曲线 的方程； （2）已知斜率之和为 的两条直线 ， 相交于点 ，直线 ， 与曲线 分别相交于 ， ， ， 四点，且线段 、线段 的中点分别为 ， ，问：直线 是否过定点？若过定点，请求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由． 9．已知椭圆 ，四点 、 、 、 中恰有三点在椭圆 上． （1）求椭圆 的方程； （2）若椭圆 上存在不同的两点 、 关于直线 对称，求直线 的方程； （3）设直线 不经过点 且与 相交于 、 两点，若直线 与直线 的斜率之和为2，试问：直线 是否过定点？如过定点，求出定点坐标；如不过定点，说明理由． 10．已知椭圆 ，四点 、 、 、 中恰有三点在椭圆 上． （1）求 的方程： （2）椭圆 上是否存在不同的两点 、 关于直线 对称？若存在，请求出直线 的方程，若不存在，请说明理由； （3）设直线 不经过点 且与 相交于 、 两点，若直线 与直线 的斜率的和为1，求证： 过定点． 11．已知点 ， 分别在 轴， 轴上运动， ，点 在线段 上，且 ． （1）求点 的轨迹 的方程； （2）直线 与 交于 ， 两点， ，若直线 ， 的斜率之和为2，直线 是否恒过定点？若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由． 12．已知椭圆 经过点 ，且离心率等于 ． （Ⅰ）求椭圆 的方程； （Ⅱ）过点 作直线 ， 交椭圆于 ， 两点，且满足 ，试判断直线 是否过定点，若过定点求出点坐标，若不过定点请说明理由． 【补充】 椭圆 EMBED Equation.DSMT4 是椭圆上一点，A