专题02 二次函数与直角三角形问题-挑战2022年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘（全国通用）

挑战2022年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘 专题2二次函数与直角三角形问题 解直角三角形的存在性问题，一般分三步走，第一步寻找分类标准，第二步列方程，第三步解方程并验根． 一般情况下，按照直角顶点或者斜边分类，然后按照三角比或勾股定理列方程． 有时根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列方程更简便． 解直角三角形的问题，常常和相似三角形、三角比的问题联系在一起． 如果直角边与坐标轴不平行，那么过三个顶点作与坐标轴平行的直线，可以构造两个新的相似直角三角形，这样列比例方程比较简便． 我们先看三个问题： 1．已知线段AB，以线段AB为直角边的直角三角形ABC有多少个？顶点C的轨迹是什么？ 2．已知线段AB，以线段AB为斜边的直角三角形ABC有多少个？顶点C的轨迹是什么？ 3．已知点A(4,0)，如果△OAB是等腰直角三角形，求符合条件的点B的坐标． 图1 图2 图3 如图1，点C在垂线上，垂足除外． 如图2，点C在以AB为直径的圆上，A、B两点除外． 如图3，以OA为边画两个正方形，除了O、A两点以外的顶点和正方形对角线的交点，都是符合题意的点B，共6个． 如图4，已知A(3, 0)，B(1,－4)，如果直角三角形ABC的顶点C在y轴上，求点C的坐标． 我们可以用几何的方法，作AB为直径的圆，快速找到两个符合条件的点C． 如果作BD⊥y轴于D，那么△AOC∽△CDB．设OC＝m，那么． 这个方程有两个解，分别对应图中圆与y轴的两个交点． 【例1】（2021•巴中）已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0）、B（6，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3）． （1）求抛物线的表达式； （2）点P在直线BC下方的抛物线上，连接AP交BC于点M，当最大时，求点P的坐标及的最大值； （3）在（2）的条件下，过点P作x轴的垂线l，在l上是否存在点D，使△BCD是直角三角形，若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）将A（﹣2，0）、B（6，0）、C（0，﹣3）代入y＝ax2+bx+c即可求解析式； （2）过点A作AE⊥x轴交直线BC于点E，过P作PF⊥x轴交直线BC于点F，由PF∥AE，可得＝，则求的最大值即可； （3）分三种情况讨论：当∠CBD＝90°时，过点B作GH⊥x轴，过点D作DG⊥y轴，DG与GH交于点G，过点C作CH⊥y轴，CH与GH交于点H，可证明△DBG∽△BCH，求出D（3，6）；当∠BCD＝90°时，过点D作DK⊥y轴交于点K，可证明△OBC∽△KCD，求出D（3，﹣9）；当∠BDC＝90°时，线段BC的中点T（3，﹣），设D（3，m），由DT＝BC，可求D（3，﹣）或D（3，﹣﹣）． 【解答】解：（1）将点A（﹣2，0）、B（6，0）、C（0，﹣3）代入y＝ax2+bx+c， 得， 解得， ∴y＝x2﹣x﹣3； （2）如图1，过点A作AE⊥x轴交直线BC于点E，过P作PF⊥x轴交直线BC于点F， ∴PF∥AE， ∴＝， 设直线BC的解析式为y＝kx+d， ∴， ∴， ∴y＝x﹣3， 设P（t，t2﹣t﹣3），则F（t，t﹣3）， ∴PF＝t﹣3﹣t2+t+3＝﹣t2+t， ∵A（﹣2，0）， ∴E（﹣2，﹣4）， ∴AE＝4， ∴＝＝＝﹣t2+t＝﹣（t﹣3）2+， ∴当t＝3时，有最大值， ∴P（3，﹣）； （3）∵P（3，﹣），D点在l上， 如图2，当∠CBD＝90°时， 过点B作GH⊥x轴，过点D作DG⊥y轴，DG与GH交于点G，过点C作CH⊥y轴，CH与GH交于点H， ∴∠DBG+∠GDB＝90°，∠DBG+∠CBH＝90°， ∴∠GDB＝∠CBH， ∴△DBG∽△BCH， ∴＝，即＝， ∴BG＝6， ∴D（3，6）； 如图3，当∠BCD＝90°时， 过点D作DK⊥y轴交于点K， ∵∠KCD+∠OCB＝90°，∠KCD+∠CDK＝90°， ∴∠CDK＝∠OCB， ∴△OBC∽△KCD， ∴＝，即＝， ∴KC＝6， ∴D（3，﹣9）； 如图4，当∠BDC＝90°时， 线段BC的中点T（3，﹣），BC＝3， 设D（3，m）， ∵DT＝BC， ∴|m+|＝， ∴m＝﹣或m＝﹣﹣， ∴D（3，﹣）或D（3，﹣﹣）； 综上所述：△BCD是直角三角形时，D点坐标为（3，6）或（3，﹣9）或（3，﹣﹣）或（3，﹣）． 【例2】（2021•毕节市）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，对称轴为直线x＝2，顶点为D，点B的坐标为（3，0）． （1）填空：点A的坐标为 　（1，0）　，点D的坐标为 　（2，﹣1）　，抛物线的解析式为 　y＝x2﹣4x+3　； （