精讲06 平面向量-【学业水平备考系列】2021-2022学年高中学业水平考试精讲+精测(山东专版)

精讲06 平面向量 [知识必备] 1.向量的有关概念 (1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或模). (2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的. (3)单位向量：长度等于1个单位的向量. (4)平行向量：方向相同或相反的非零向量.平行向量又叫共线向量.规定：0与任一向量平行. (5)相等向量：长度相等且方向相同的向量. (6)相反向量：长度相等且方向相反的向量. 2.向量的线性运算 向量运算 定　义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算 (1)交换律： a＋b＝b＋a. (2)结合律： (a＋b)＋c＝ a＋(b＋c) 减法 减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量 a－b＝a＋(－b) 数乘 求实数λ与向量a的积的运算 (1)|λa|＝|λ||a|； (2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0 λ(μa)＝λμa； (λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb 3.共线向量定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa. 4.平面向量的基本定理 如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. 其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 5.平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝＝ (2)向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标. ②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，＝. 6.平面向量共线的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0. 7.平面向量数量积的有关概念 (1)向量的夹角：已知两个非零向量a和b，记＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角. (2)数量积的定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则a与b的数量积(或内积)a·b＝|a||b|cos__θ.规定：零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0. (3)数量积的几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos__θ的乘积. 8.平面向量数量积的性质及其坐标表示 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角. (1)数量积：a·b＝|a||b|cos θ＝x1x2＋y1y2. (2)模：|a|＝＝. (3)夹角：cos θ＝. (4)两非零向量a⊥b的充要条件：a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0. (5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)⇔|x1x2＋y1y2|≤. 9. 正、余弦定理 在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则 定理 正弦定理 余弦定理 公式 a2＝b2＋c2－2bccos__A；b2＝c2＋a2－2cacos__B； c2＝a2＋b2－2abcos__C 常见 变形 (1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin__B，c＝2Rsin__C； (2)sin A＝，sin B＝，sin C＝； (3)a∶b∶c＝sin__A∶sin__B∶sin__C； (4)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A cos A＝； cos B＝； cos C＝ 10.S△ABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B＝＝ (a＋b＋c)·r(r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R，r. [题型精讲] 题型一　平面向量的线性运算 例1　若M为△ABC的边AB上一点，且则=（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 先用向量，表示向量，再转化为用，表示即可得答案. 【详解】 解：根据题意做出图形，如图， 所以， 所以. 故选：A. 【点睛】 关键点睛：解题关键在于利用向量的线性运算进行求解，属于基础题 例2　（2021·山东德州·高一期末）如图，设是正六边形的中心，则与相等的向量为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 容易看出，四边形是平行四边形，从而得出. 【详解】 根据图形看出，四边形是平行四边形 故选： 【点睛】 本题考查相等向量概念辨析，属于基础题. 例3　设为所在平面内一点，，为的中点，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分