精讲04 指数函数和对数函数-【学业水平备考系列】2021-2022学年高中学业水平考试精讲+精测(山东专版)

精讲04 指数函数和对数函数 [知识必备] 1.根式 (1)概念：式子叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数. (2)性质：()n＝a(a使有意义)；当n为奇数时，＝a，当n为偶数时，＝|a|＝ 2.分数指数幂 (1)规定：正数的正分数指数幂的意义是＝ (a>0，m，n∈N*，且n>1)；正数的负分数指数幂的意义是＝ (a>0，m，n∈N*，且n>1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义. (2)有理指数幂的运算性质：aras＝ar+s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈Q. 3.指数函数及其性质 (1)概念：函数y＝ax(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数. (2)指数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 图象 定义域 R 值域 (0，＋∞) 性质 过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1 当x>0时，y>1； 当x<0时，0<y<1 当x<0时，y>1； 当x>0时，0<y<1 在(－∞，＋∞)上是增函数 在(－∞，＋∞)上是减函数 4.对数的概念 如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数. 5.对数的性质、换底公式与运算性质 (1)对数的性质：①alogaN＝N；②logaab＝b(a>0，且a≠1). (2)对数的运算法则 如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么 ①loga(MN)＝logaM＋logaN； ②loga＝logaM－logaN； ③logaMn＝nlogaM(n∈R)； ④logamMn＝logaM(m，n∈R，且m≠0). (3)换底公式：logbN＝(a，b均大于零且不等于1). 6.对数函数及其性质 (1)概念：函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞). (2)对数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 图象 性质 定义域：(0，＋∞) 值域：R 当x＝1时，y＝0，即过定点(1，0) 当x>1时，y>0； 当0<x<1时，y<0 当x>1时，y<0； 当0<x<1时，y>0 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 [题型精讲] 题型一　指数运算 例1　（2021·山东·高一期中）（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 根据指数幂的运算性质可解得结果. 【详解】 ， 故选：C. 例2　（2021·山东·济宁一中高一期中）设，将表示成分数指数幂的形式，其结果是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 把根式化成指数幂的形式，再运用幂的运算法则可得出结果. 【详解】 解：. 故选：C. 【点睛】 本题考查根式运算化成指数幂的形式，属于基础题. 例3　（2021·山东微山·高一月考）若，化简的结果是（ ） A．5－2a B．2a－5 C．1 D．－1 【答案】C 【分析】 由，得到，结合根式的运算法则，即可求解. 【详解】 因为，所以， 所以. 故选：C. 【点睛】 本题主要考查根式的运算性质的化简、求值，其中解答中熟记根式的运算性质，准确运算是解答的关键，着重考查运算与求解能力. [题型精练] 1．（2021·山东·济南市济阳区第一中学高一期中）化简结果为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 根据实数指数幂的运算法则，准确运算，即可求解. 【详解】 根据实数指数幂的运算公式，可得：. 故选：A. 【点睛】 本题主要考查了实数指数幂的化简与运算，其中解答中熟记实数指数幂的运算法则，准确运算是解答的关键，着重考查运算与求解能力，属于基础题. 2．（2021·山东·济宁一中高一期中）下列命题中正确的个数为（ ） ①，②，则，③，④ A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】 根据根式与指数幂运算的运算法则依次判断各个选项即可得到结果. 【详解】 ①当为偶数时，，①错误； ②当时，，则，②正确； ③，③错误； ④，④错误 故选 【点睛】 本题考查根式与指数幂的运算、化简，属于基础题. 3．（2021·山东济宁·高一期中）设a>0，将表示成分数指数幂，其结果是 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 试题分析：. 考点：根式与指数式的互化，指数式的运算法则. 题型二　指数函数图像和性质 例4　已知函数是偶函数，当时，，则该函数在上的图像大致是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 根据偶函数，指数函数的知识确定正确选项. 【详解】 当时，，所以在上递减， 是偶函数，所以在上