第十一章 立体几何初步 章末知识梳理（学案）-【成才之路】2021-2022学年高中新教材数学必修第四册新课程同步学习指导（人教B版）

新教材·高中新课程学习指导 ∵ AB1 = 6 2 a,∴ AB 2 1 = OA2 + OB21,∴ OB1⊥OA, ∵ OB1⊥BC,又 OA∩BC = O,OA,BC⊂平面 ABC, ∴ OB1⊥平面 ABC,∴ VC-ABB1 = VB1-ABC = 1 3 S△ABC·OB1 = 13 × 1 2 × a × 3 2 a × 3 2 a = a3 8 . 3. (1)证明:由已知条件,知 AD = CD = BD. 如题目图,取 AB 中点 O,连接 DO, ∵ △ABD 是等腰直角三角形,∴ DO⊥AB,且 DO = 22 AD. 连接 CO,同理 CO⊥AB,且 CO = 22 AC. ∵ AD = AC,∴ CO = DO = 22 AC. ∵ CD = AC,∴ CO2 + DO2 = CD2, ∴ △CDO 为等腰直角三角形,且 CO⊥DO. ∵ AB∩CO = O,DO⊥AB,∴ DO⊥平面 ABC. ∵ DO⊂平面 ABD,∴ 平面 ABD⊥平面 ABC. (2)解:取 BD 的中点 E,连接 CE,OE. ∵ △BCD 为等边三角形,∴ CE⊥BD. 又∵ △BOD 为等腰直角三角形,∴ OE⊥BD. ∴ ∠OEC 为二面角 C - BD - A 的平面角. 由(1)可证得 OC⊥平面 ABD,∴ OC⊥OE. ∴ △COE 为直角三角形. 设 BC = b,则 CE = 32 b,OE = 1 2 b,∴ cos∠OEC = OE CE = 3 3 , 即二面角 C - BD - A 的余弦值为 33 . 章末知识梳理 要点专项突破 　 　 典例 1:由题意知,所求几何体的表面积由三部分组成: 圆台下底面、侧面和一半球面, S半球 = 8π cm2,S圆台侧 = 35π cm2,S圆台底 = 25π cm2, 故所求几何体的表面积为 68π cm2 . 由 V圆台 = 1 3 × [π × 2 2 + (π × 22) × (π × 52) + π × 52 ] × 4 = 52π(cm3), V半球 = 4 3 π × 2 3 × 12 = 16 3 π(cm 3), 所以所求几何体的体积为 V圆台 - V半球 = 52π - 16 3 π = 140 3 π(cm 3) . 　 　 对 点 练 习 1: A 　 解 法 1: V三棱锥B1 - ABC1 = V三棱柱ABC - A1B1C1 - V三棱锥A - A1B1C1 - V三棱锥C1 - ABC = 3 4 - 3 12 - 3 12 = 3 12 . 解法 2:VB1 - ABC1 = VA - BB1C1 = 1 3 × 1 2 (1 × 1)· 3 2 = 3 12 . 　 　 典例 2:当点 F 是 PB 的中点时,平面 AFC∥平面 PMD,证明如下: 如图连接 BD 与 AC 交于点 O,连接 FO,则 PF = 12 PB. ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形, ∴ O 是 BD 的中点,∴ OF∥PD. 又 OF⊄平面 PMD,PD⊂平面 PMD, ∴ OF∥平面 PMD. 又 MA∥PB 且 MA = 12 PB, ∴ PF∥MA 且 PF =MA, ∴ 四边形 AFPM 是平行四边形,∴ AF∥PM. 又 AF⊄平面 PMD,PM⊂平面 PMD,∴ AF∥平面 PMD. 又 AF∩OF = F,AF⊂平面 AFC,OF⊂平面 AFC, ∴ 平面 AFC∥平面 PMD. 　 　 对点练习 2:∵ M,N 分别是 EA 与 EC 的中点,∴ MN∥AC. 又∵ AC⊂平面 ABC,MN⊄平面 ABC, ∴ MN∥平面 ABC. ∵ DB⊥平面 ABC,EC⊥平面 ABC,∴ BD∥EC. ∵ N 是 EC 的中点,EC = 2BD,∴ NC∥BD,NC = BD. ∴ 四边形 BCND 为矩形,∴ DN∥BC. 又∵ DN⊄平面 ABC,BC⊂平面 ABC,∴ DN∥平面 ABC. 又∵ MN∩DN = N,MN⊂平面 DMN,DN⊂平面 DMN, ∴ 平面 DMN∥平面 ABC. 　 　 典例 3:(1)因为平面 PAD⊥底面 ABCD,平面 PAD∩底面 ABCD = AD,PA⊂平面 PAD,PA⊥AD, 所以 PA⊥底面 ABCD. (2)因为 AB∥CD,CD = 2AB,E 为 CD 的中点, 所以 AB∥DE,且 AB = DE. 所以四边形 ABED 为平行四边形, 所以 BE∥AD. 又因为 BE⊄平面 PAD,AD⊂平面 PAD, 所以 BE∥平面 PAD. (3)因为 AB⊥AD,且四边形 ABED 为平行四边形, 所以 BE⊥CD,AD⊥CD. 由(1)知 PA⊥底面 ABCD, 所以 AP⊥CD