第十一章 11.3 空间中的平行关系（学案）-【成才之路】2021-2022学年高中新教材数学必修第四册新课程同步学习指导（人教B版）

新教材·高中新课程学习指导 课堂检测·固双基 1. B　 自行车前后轮与撑脚分别接触地面,此时三个接触点不在同一条 直线上,所以可以确定一个平面,即地面,从而使得自行车稳定. 2. B　 点 A 在直线 a 上,而直线 a 在平面 α 内,点 B 在平面 α 内,表示为 A∈a,a⊂α,B∈α. 3. C　 不共线的三点确定一个平面,故 A 不正确;四边形有时指空间四 边形,故 B 不正确;梯形的上底和下底平行,可以确定一个平面,故 C 正确;两个平面如果相交,一定有一条交线,所有这两个平面的公共点 都在这条交线上,故 D 不正确. 故选 C. 4. C 5. (1)O　 (2)A1B1 　 (3)AC　 (4)OO1 11. 3　 空间中的平行关系 11. 3. 1　 平行直线与异面直线 必备知识·探新知 　 　 知识点 1　 1. 同一平面　 不相交　 3. 相交直线　 一个公共点　 平行 直线　 没有公共点　 没有公共点 　 　 知识点 2　 平行　 a∥c 　 　 知识点 4　 不共面　 顶点　 边　 对角线 关键能力·攻重难 题型探究 　 　 典例 1:平行　 连接 BD,如图, ∵ AEAB = AH AD,∴ EH∥BD, 又∵ CFCB = CG CD,∴ FG∥BD,∴ EH∥FG. 　 　 对点练习 1:(1)证明:在△ABD 中,E,H 分别为 AB,AD 的中点, ∴ EH􀱀 12 BD. 同理 FG􀱀 1 2 BD. 所以 EH􀱀FG,所以四边形 EFGH 为平行四边形. 又在△ABC 中,可得 EF􀱀 12 AC, ∵ AC = BD,∴ EF = EH,∴ 四边形 EFGH 是菱形. (2)如图所示. ①平行. ∵ AB􀱀D1C1,∴ 四边形 ABC1D1 是平 行四边形,∴ AD1∥BC1 . ②平行. 因为 EF∥BD∥B1D1∥GH. ③平行. 取 CD 中点 S,连接 BS,HS,可证 DE∥BS∥HB1 . 　 　 典例 2:在正方形 ADD1A1 中,M,M1 分别为 AD,A1D1 的中点, ∴ A1M1􀱀AM,∴ 四边形 AMM1A1 是平行四 边形, ∴ A1A􀱀M1M. 又∵ A1A􀱀B1B,∴ M1M􀱀B1B, ∴ 四边形 BB1M1M 为平行四边形,∴ B1M1∥BM. 同理可得四边形 CC1M1M 为平行四边形,∴ C1M1∥CM. 由平面几何知识可知,∠BMC 和∠B1M1C1 都是锐角. ∴ ∠BMC = ∠B1M1C1 . 　 　 对点练习 2:因为 F 为 BB1 的中点, 所以 BF = 12 BB1, 因为 G 为 DD1 的中点,所以 D1G = 1 2 DD1 . 又 BB1∥DD1,BB1 = DD1,所以 BF∥D1G,BF = D1G. 所以四边形 D1GBF 为平行四边形. 所以 D1F∥GB,同理 D1E∥GC. 所以∠BGC 与∠FD1E 的对应边平行且方向相同, 所以∠BGC = ∠FD1E. 　 　 典例 3:(2)(4) 　 (1)中 HG∥MN,(3)中 GM∥HN 且 GM≠HN,所 以直线 HG 与 MN 必相交. 　 　 对点练习 3:8　 与 AB 异面的有侧棱 PD 和 PC,同理,与底面的各条 边异面的都有两条侧棱,故共有异面直线 4 × 2 = 8(对) . 易错警示 　 　 典例 4:60°或 120° 　 因为角 α,β 的两边分别平行, 所以 α,β 相等或互补, 又 α = 60°,所以 β = 60°或 120°. 　 　 对点练习 4:B　 ②④是正确的. 课堂检测·固双基 1. D 2. D　 若直线 a 和 b 共面,则由题意可知 a∥b;若 a 和 b 不共面,则由题 意可知 a 与 b 是异面直线. 3. 6　 如图所示, 在长方体 AC1 中,与对角线 AC1 成异面直线位置的是:A1D1,BC,BB1, DD1,A1B1,DC,所以组成 6 对异面直线. 4. 3　 AP 与 BC 异面,BP 与 AC 异面,PC 与 AB 异面. 5. 如图,连接 AC, ∵ M、N 分别为 CD、AD 的中点,∴ MN􀱀 12 AC. 由正方体性质可知 AC􀱀A′C′,∴ MN􀱀 12 A′C′, ∴ 四边形 MNA′C′是梯形. 11. 3. 2　 直线与平面平行 必备知识·探新知 　 　 知识点 1　 有无数个公共点　 a⊂α　 有且只有一个公共点　 a∩α = A　 没有公共点　 a∥α 　 　 知识点 2　 平面内的一条直线平行 　 　 知识点 3　 平行　 平行　 l⊂β,α∩β = m 关键能力·攻重难 题型探究 　 　 典例 1:D　 由 a∥b,且 a∥α,知 b∥α