第三章 圆锥曲线的方程 章末知识梳理（学案）-【成才之路】2021-2022学年高中新教材数学选择性必修第一册新课程同步学习指导（人教A版）

CGZI 数学(选择性必修·第一册RJA)115 2p(-4),得p=2,则y2=-4x (2)①当直线l的斜率不存在时,直线l:x=-1与抛物线交于(-1, x=0,得{x=0·即直线x=0与抛物线只有一个公共点 2),(-1,2),弦长为4,不合题意 (2)若直线的斜率存在,设为k,则过点P(0,1)的直线方程为y= ②当直线l的斜率存在时,设斜率为k,直线为y=k(x+1) y2=-4.消去y得kx2+(212+4)x+k2=0,x1+x2=-242+4kx+1,由方程组 消去y,得k2x2+2(k-1)x+1=0. 当k=0时,得2即直线y=1与抛物线只有一个公共点; 弦长为√1+kx(22+4)2-4k 当k≠0时,直线与抛物线只有一个公共点,则=4(k-1)2-4k2 解得k2=1, 0,所以k=1,直线方程为y=1x+1.综上所述,所求直线方程为x=0 得k=±1,所以直线l的方程为y=x+1或y=-x-1 典例4:(1)因为抛物线y2=2px(p>0)的焦点坐标为(1,0),所以或 或y=1或y=x+1. 堂检测·固双基 C设弦两端点为A(x1,y1)、B(x2,y2) A、B在抛物线上 所以抛物线C的方程为y2=4x 两式相减得,(y1+y2)(y1-y2)=8(x1-x2), (2)①当直线AB的斜率不存在时, 直线AB方程为y+1=-4(x-1 因为直线OA,OB的斜率之积为- 即4x+y-3=0 2.C把x=y-1代入y2=2mx得y2 所以 化简得t2=32 (y1+y2)2-4y1y2=2 所以A(8,1),B(8,-1),此时直线AB的方程为x=8 ②当直线AB的斜率存在时,设其方程为y=k+b(k≠0),A(x1,可解得 或 抛物线方程为y2=-2x或y2=6x.故选C 联立得 y=kx+b化简得b2-4y+4b=0 3.Ay=1x2→2=4,焦点为(0,1),其关于x-y-1=0的对称点为(2 根据根与系数的关系得yAyB=k 4.C (y=,得 k2x2-4(k+2)x+4=0,由4>0得k> 因为直线OA,OB的斜率之积为 所 即x1xB+2yAyB=0 联立方程组得 消去y得x2-4mx+8p=0, y=2x一 +2yAy 由题意△=16p2-32p=0,解得p=2或P=0(舍去),故C的方程为x2 解得yAyg=0(舍去)或yAyB=-32 (2)由(1)得,当k>2或k<-2时直线与抛物线有两个不同交点 所以yAyB=k ,即b 直线方程l:y=kx-4,设A(x1,y1),B(x2,y2), 所以y=kx-8k,即y=k(x-8) 联立方程 x2=4y消去y得x2-4x+16=0 综上所述,直线AB过x轴上一定点(8,0) 对点训练3:(1)设A(x1,y1),B(x2,y2), 则x1+x2=4k,x1x2=16 则y=2px1,y2=2 OA⊥OB 又A为PB的中点,则=2 2x=16,x1+ (2)证明:y2=2mx1,① MB:=1+x,1-1="×2=2m ②-①得y-=2p(x2-x1) 章末知识梳理 要点专项突破 直线AB的斜率为2 典例1:(1)C把轨迹方程5x2+y2=13x+4y-121写成 直线AB的方程为y-y1 动点M到原点的距离与它到直线3x+4y-12=0的距离相等 点M的轨迹是以原点为焦点,直线3x+4y-12=0为准线的抛物线 (2)方法一:由PD=2MD,知点M为线段PD的中点,设点M的坐 29-(x-2p) 也就是y=y1+y2 标为(x,y),则点P的坐标为(x,2y) 因为点P在圆x2+y2=4上 直线AB过定点(2p,0) 所以x2 易错警示 典例5:(1)若直线斜率不存在,则过点P(0,1)的直线方程为x=0, 所以曲线C的方程为4+y2=1 CGZL 116新教材·高中新课程学习指导 方法二:设点M的坐标为(x,y),点P的坐标是(x0,y) 即clyl=16, 由=2m,得x=x,0=2y, 因为点P(x0,%0)在圆x2+y2=4上 ①②③ 所以x+y2=4 把x0=x,yo=2y代入(*)式,得x2+4y2=4, 由②③及2=62+c2得2=b 所以曲线C的方程为+y2=1 由①知y2=165,故 典例2:(1)D(2)x±2y=0 (1)由椭圆可知1AF1+14F21=4,1F1F2=23因为四边形由②③及a2=b2+C2得x2=2(2-62), AF1BF2为矩形,所以AF12+|AF212=1F1F212=12, 所以c2≥b2,从而a2=b2+c2≥2b2=32 所以2AF1AF2|=(MAF1|+|AF21)2-(|AF12+1AF212)=16-12 故a≥4、2 4,所以(AF21-1AF1)2=|AF12+1A