浙江省杭州地区(含周边)重点中学2021-2022学年高二上学期期中考试数学试题

绝密★考试结束前 2021学年第一学期期中杭州地区(含周边)重点中学 高二年级数学学科试题 选择题部分 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1．直线 的倾斜角为 A． B． C． D． 2．若复数 （ 为虚数单位），则 = A． B． C． D． 3．如图，在四面体 中， 是棱上靠近 的三等分点， 分别是 的中点，设 ， ， ，用 ， ， 表示 ，则 A． B． C． D． 4．两条平行直线 和 间的距离为，则 的值分别为 A． B． C． D． 5．设 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，则一定能使 成立的条件是 A． B． C． D． 6．如图，已知圆锥的底面半径为2，母线长为4， 为圆锥底面圆的直径， 是 的中点， 是母线 的中点，则异面直线 与 所成角的余弦值为 A． B． C． D． 7．已知平面向量 ， ， ，满足 ， 与的夹角为 ，且，则 的最小值为 A． B．1 C． D． 8．在矩形 中，， 为的中点，将 和 分别沿 翻折，使点与点 重合于点 ，若 ， 则三棱锥的外接球的表面积为 A． B． C． D． 二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分. 9．已知直线 ，其中 ，下列说法正确的是 A． 当 时，直线与直线 若直线垂直 B．与直线 平行，则 C． 直线的倾斜角一定大于 当 D． 时，直线在两坐标轴上的截距相等 10．圆 和圆 相交于两点，则有 A． 公共弦所在直线方程为 B． 圆 上到直线距离等于1的点有2个 C． 公共弦的长为 D． 为圆 上的一个动点，则到直线 距离的最大值为 11．有5个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，从中有放回的随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是6”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则 A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立 C．乙与丁相互独立 乙与丙相互独立 D． 12．如图，若正方体的棱长为1，点 是正方体 的侧面 上的一个动点（含边界）， 是棱的中点，则下列结论正确的是 A．沿正方体的表面从点A到点 的最短路程为 B．若保持 ， 则点在侧面 内运动路径的长度为 C．三棱锥 的体积最大值为 D． 若点在 上运动，则到直线 的距离的最小值为 非选择题部分 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13．费马大定理又称为“费马最后定理”，由17世纪法国数学家皮埃尔·德·费马提出，他断言当 时，关于的方程 没有正整数解.他提出此结论后，历经多人猜想辩证，最终在1994年被英国数学家安德鲁·怀尔斯彻底证明．某同学对这个数学问题很感兴趣，决定从1,2,3,4,5,6这6个自然数中随机选一个数字作为方程 中的指数，则方程 存在正整数解的概率为 ▲ 14．若复数 （ 是虚数单位） 是关于的方程 的一个根，则 = ▲ 15．由10 个实数组成的一组数据，方差为，将其中一个数3改为1，另一个数6改为8，其余的数不变，得到新的一组数，方差为 ， 则 ▲ 16．如右图，在四棱台 中，， ， 则 的最小值为 ▲ 四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本题满分10分） 在 中，已知角 所对应的边分别为，且 ， ， 是线段上一点，且满足 . （Ⅰ）求 的面积； （Ⅱ）求 的长. 18．（本题满分12分）第19届亚运会将于2022年9月在杭州举行，志愿者的服务工作是亚运会成功举办的重要保障.某高校承办了杭州志愿者选拔的面试工作.现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组 ，第二组 ，第三组，第四组 ，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图.已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同. （Ⅰ） 求的值； （Ⅱ） 估计这100名候选者面试成绩的众数，平均数和第）； 分位数（分位数精确到0.1 （Ⅲ）在第四、第五两组志愿者中，现采用分层抽样的方法，从中抽取5人，然后再从