专题19 平面向量与三角形的四心-2022年高考数学微专题复习（新高考地区专用）【学科网名师堂】

专题19 平面向量与三角形的四心 1、重心——三角形的三条中线的交点； 2、垂心——三角形的三条垂线的交点； 3、内心——三角形的三个内角角平分线的交点（三角形内切圆的圆心）； 4、外心——三角形的三条垂直平分线的交点（三角形外接圆的圆心） 题型一 外心问题 例1、（2021·广东江门市高三一模）已知点为的外心，的边长为2，则（ ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】C 【解析】因为点为的外心，设的中点为,连结，则，如图 所以. 故选：C 变式1、已知O是△ABC内的一点，若，则O是△ABC的〔  〕. A．重心          B.垂心          C.外心         D.内心 【答案】C 【解析】：，由向量模的定义知到的三顶点距离相等.故 是 的外心 ，选C. 变式2、的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，，则实数m = 　． 【解析】：本题除了利用特殊三角形求解外，纯粹利用向量知识推导则比较复杂，更加重要的一点是缺乏几何直观．解法如下，由已知，有向量等式，将其中的向量分解，向已知等式形式靠拢，有，将已知代入，有， 即，由是外心，得，由于是任意三角形，则不恒为０，故只有恒成立． 或者，过点作与，则是的中点，有；是垂心，则，故与共线，设，则，又，故可得，有，得． 根据已知式子中的部分，很容易想到三角形的重心坐标公式，设三角形的重心为，是平面内任一点，均有，由题意，题目显然叙述的是一个一般的结论，先作图使问题直观化，如图１，由图上观察，很容易猜想到，至少有两个产生猜想的诱因，其一是，均与三角形的边垂直，则；其二，点是三角形的中线的三等分点．此时，会先猜想，但现在缺少一个关键的条件，即，这样由两个三角形的两边长对应成比例，同时，夹角对应相等可得相似．当然，在考试时，只需大胆使用，也可利用平面几何知识进行证明． 题型二 垂心问题 例2、 P是△ABC所在平面上一点，若，则P是△ABC的（  　）. A．外心　    B．内心　    C．重心　     D．垂心 【答案】D 【解析】:由. 即.则， 所以P为的垂心. 故选D. 变式、已知为所在平面内一点，满足，则为的　　　心． 【解析】　将，也类似展开代入，已知等式与例４的条件一样．也可移项后，分解因式合并化简，为垂心． 题型三 内心问题 例3、已知P是△ABC所在平面内的一动点，且点P满足 ，则动点P一定过△ABC的〔  〕. A、重心     B、垂心     C、外心        D、内心 【答案】B 【解析】：如图2所示，因为是向量的单位向量设与方向上的单位向量分别为，  又，则原式可化为，由菱形的基本性质知AP平分，那么在中，AP平分，则知选B. 变式、为所在平面内一点，，，为的角，若，则点 为的(　　) A．垂心　　　　　　　　B．外心　　　　　　　　C．内心　　　　　　　　D．重心 【答案】C 【解析】　由正弦定理得，即， 由上式可得，所以 ，所以与的平分线共线，即在的平分线上，同理可证，也在，的平分线上，故是的内心． 题型四 重心问题 例4、 已知O是平面上一 定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P 满足：，则P的轨迹一定通过△ABC的（     ） Ａ  外心     Ｂ  内心    C  重心    D  垂心 【答案】C 【解析】：如图1，以AB，AC为邻边构造平行四边形ABCD，E为对角线的交点，根据向量平行四边形法则 ，因为， 所以，上式可化为，E在直线AP上，因为AE为的中线，所以选 C. 变式、已知O是△ABC所在平面上的一定点，若动点P满足＝＋λ，λ∈(0，＋∞)， 则点P的轨迹一定通过△ABC的(　　) A．内心　　　　　　B．外心　　　　　　C．重心　　　　　　D．垂心 【答案】　C　 【解析】　∵|AB|sin B＝|AC|sin C，设它们等于t，∴＝＋λ·(＋)，设BC的中点为D， 则＋＝2，λ·(＋)表示与共线的向量，而点D是BC的中点，即AD是△ABC的中线，∴点P的轨迹一定通过三角形的重心．故选C． 总结与反思：（1）O是的重心； （2）O是的垂心； （3）O是的外心(或)； （4）O是的内心 ； 注意：向量所在直线过的内心(是的角平分线所在直线) 1、 已知A，B，C是平面上不共线的三点，O为坐标原点，动点P满足＝[(1－λ)＋(1－λ)＋(1＋2λ)·]，λ∈R，则点P的轨迹一定经过(　　) A．△ABC的内心　　　B．△ABC的垂心　　　C．△ABC的重心　　　D．AB边的中点 【答案】　C　 【解析】　取AB的中点D，则2＝＋，∵＝[(1－λ)＋(1－λ)＋(1＋2λ)]，∴＝[2(1－λ)＋(1＋2λ)]＝＋，而＋＝1，∴P，C，D三点共线，∴点P的轨迹一