第10讲 正比例函数的图像与性质（讲+练）-【A+课堂】2021-2022学年八年级数学上册同步精讲精练（沪教版）

第10讲 正比例函数的图像与性质 知识一、正比例函数的图像 （1）一般地，正比例函数y=kx（k是常数，k≠0）的图象是经过（0，0），（1，k）这两点的一条直线，我们把正比例函数y=kx的图象叫做直线y=kx; （2）图像画法∶列表、描点、连线. 题型探究 题型一、画图 【例1】画出下列正比例函数的图象： （1）； （2）． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】 根据列表-描点-连线的方法画图，函数图象经过原点． 【解析】 解：（1）函数中自变量x可为任意实数．表中是y与x的几组对应值． x … 0 1 2 3 … y … 0 2 4 6 … 如图，在直角坐标系中描出以表中的值为坐标的点．将这些点连接起来，得到一条经过原点和第三、第一象限的直线它就是函数的图象． 用同样的方法，可以得到函数的图象（如图）．它也是一条经过原点和第三、第一象限的直线． （2）函数中自变量x可为任意实数．表中是y与x的几组对应值． x … 0 1 2 3 … y … 4.5 3 1.5 0 … 如图，在直角坐标系中描出以表中的值为坐标的点．将这些点连接起来，得到一条经过原点和第二、第四象限的直线，它就是函数的图象． 用同样的方法，可以得到函数的图象（如图）．它也是一条经过原点和第二、第四象限的直线． 以上4个函数的图象都是经过原点的直线，其中函数和的图象经过第三、第一象限，从左向右上升；函数和的图象经过第二、第四象限，从左向右下降． 【点睛】 本题考查了函数的图象的作法，理解作函数图象的作法，列表、描点、连线．解答此题的关键是画出函数的图象． 题型二、解析式 【例2-1】若函数y=kx的图象经过点（-1，2），则k的值是（ ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】 把点（-1，2）代入正比例函数y=kx，即可求出k的值． 【解析】 解：把点（-1，2）代入正比例函数y=kx， 得：2=-k， 解得：k=-2． 故选：A． 【例2-2】已知正比例函数图象上一个点A在x轴的下侧，y轴的右侧，距离x轴4个单位长度，距离y轴2个单位长度，求该正比例函数的表达式． 【答案】该正比例函数的表达式为y=﹣2x． 【分析】 根据已知条件得到点A的坐标为（2，﹣4），设正比例函数的表达式为y=kx（k≠0），然后将点（2，﹣4）代入y=kx中求解即可． 【解析】 ∵点A在x轴的下侧，y轴的右侧，距离x轴4个单位长度，距离y轴2个单位长度， ∴点A的坐标为（2，﹣4）． 设正比例函数的表达式为y=kx（k≠0）， 将点（2，﹣4）代入y=kx中， ﹣4=2k，解得：k=﹣2， ∴该正比例函数的表达式为y=﹣2x． 题型三、点在函数上 【例3-1】正比例函数的图象经过点，则它一定经过（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 先将(-2，1)代入正比例函数解析式中，解出k的值，得到正比例函数的解析式，再进行判断即可； 【解析】 ∵ 经过(-2，1)， ∴ 将(-2，1)代入中， 得： ， ∴ ， ∴ 函数解析式为：． ∴ 点(2，-1)在函数的图象上， 故选：D． 【例3-2】已知点A（a，m）和点B（﹣a﹣2，n）都在正比例函数y＝﹣3x的图象上，则m+n的值为（　　） A．3 B．﹣3 C．﹣6 D．6 【答案】D 【分析】 把点A（a，m）和点B（﹣a﹣2，n）分别代入y＝﹣3x中，得到m=-3a，n=3a+6,两式相加求解即可． 【解析】 ∵点A（a，m）和点B（﹣a﹣2，n）都在正比例函数y＝﹣3x的图象上， ∴m=-3a，n=3a+6， ∴m＋n=-3a+3a+6=6， 故选D． 【例3-3】已知正比例函数的图像过点（3，2），（a，6），则a的值＝_________． 【答案】9 【分析】 先根据点（3，2）坐标求出正比例函数解析式，再把点（a，6）代入解析式，即可求解． 【解析】 解：设正比例函数解析式为y=kx（k≠0）， ∵正比例函数的图像过点（3，2）， ∴3k=2， ∴k=， ∴正比例函数解析式是， 再把x=a，y=6代入得， ， 解得a=9． 故答案为：9 题型四、其它 【例4-1】已知正比例函数经过点，点在第三象限，过点作轴，垂足为点，点的横坐标为，且的面积为3. （1）求正比例函数的解析式； （2）在轴上能否找到一点，使的面积为5？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）；（2）点的坐标为或. 【分析】 （1）根据题意求得点A的坐标，然后利用待定系数法求得正比例函数的解析式； （2）利用三角形的面积公式求得OP=5，然后根据坐标与图形的性质求得点P的坐标． 【解析】