专题19 四边形面积求最值问题-2022年中考数学之二次函数重点题型专题（全国通用版）

专题19 四边形面积求最值问题 1．（2021·广西·中考一模）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于原点O和点A(6，0)，抛物线的顶点为B． （1）求该抛物线的解析式和顶点B的坐标； （2）若动点P从原点O出发，以每秒1个长度单位的速度沿线段OB运动，同时有一动点M从点A出发，以每秒2个长度单位的速度沿线段AO运动，当P、M其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动时间为t（s），连接MP，当t为何值时，四边形ABPM的面积最小？并求此最小值． （3）在（2）的条件下，当t为何值时，OPM是直角三角形？ 【答案】（1），B，；（2），；（3）秒或秒 【分析】 （1）根据点，的坐标，利用待定系数法可求出二次函数的解析式，再将二次函数解析式由一般式变形为顶点式，即可得出顶点的坐标； （2）当运动时间为时，，，，，结合点，的运动速度可得出，由可得出四边形的面积关于的函数关系式，再利用二次函数的性质即可解决最值问题． （3）由（2）得到∠POA=60°，分∠OPM=90°，∠OMP=90°两种情况，分别列方程求解． 【详解】 解：（1）将，代入，得： ， 解得：， 该抛物线的解析式为． ， 顶点的坐标为，． （2）过P作PC⊥轴于C，过B作BD⊥轴于D，如图： ∵点的坐标为，， ∴， ∴，， 当运动时间为时，，，，． 当、其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动， ． ， ， ， ， ． ， 当时，四边形的面积取最小值，最小值为； （3）由（3）得：∵A（6，0），B（3，），， ∴∠POA=60°， OP=t，AM=2t， 则OM=6-2t， 若△OPM是直角三角形， 当∠OPM=90°时， ∠OMP=30°， 则OM=2OP，即6-2t=2t， 解得：t=； 当∠OMP=90°时， ∠OPM=30°， 则OP=2OM，即t=2（6-2t）， 解得：t=； 综上：当t为秒或秒时，△OPM是直角三角形． 【点睛】 本题考查了待定系数法求二次函数解析式、解直角三角形、待定系数法求一次函数解析式、三角形的面积以及二次函数的性质，解题的关键是：根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式，同时注意分类讨论． 2．（2021·重庆巴蜀中学中考二模）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点与轴交于，两点（点在点的左侧），其中，并且抛物线过点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点为直线上方抛物线上一点，过作轴交于点．连接，，，求四边形面积的最大值及点的坐标； （3）如图2，将抛物线沿射线方向平移得新抛物线，是否在新抛物线上存在点，在平面内存在点，使得以，，，为顶点的四边形为正方形？若存在，直接写出此时新抛物线的顶点坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）时，最大为，点P的坐标为(3，)；（3）存在，新抛物线的顶点坐标为(5，2)或(3，-1)或(，)． 【分析】 （1）利用待定系数法求解即可； （2）要使S四边形CPDE最大，则PE最大，设P(t，t2+t+3)，则E(t，t+3)，利用二次函数的性质求解即可； （3）分情况讨论，当AC为正方形ACMN的边时，当AC为正方形ACNM的边时，当AC为正方形AMCN的对角线时，分别作出辅助线，利用全等三角形的判定和性质以及二次函数的平移规律解答即可． 【详解】 解：（1）因为抛物线过点A(−2，0)和D(4，3)， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）抛物线的对称轴为， 则顶点坐标为(2，4)， ∵点A(−2，0)， ∴点B(6，0)， 令，则， ∴C(0，3)， 又D(4，3)， ∴DC//x轴， ∴PE⊥CD， ∵S四边形CPDE=PE⋅CD， ∴S四边形CPDE最大，即PE最大， 设直线BC的解析式为， ∴， ∴， ∴直线BC的解析式为， 设P(t，t2+t+3)，则E(t，t+3)， ∴PE=t2+t=， ∴t=3时，S四边形CPDE最大为， 此时P的坐标为(3，)； （3）∵A(−2，0)，C(0，3)， ∴OA=2，OC=3， ∴AC=， 当AC为正方形ACMN的边时，如图， 则MN=MC=AN=AC， 过M作MG⊥轴于G，过N作NQ⊥轴于Q， ∵ACMN为正方形， ∴∠ACM=∠CAN=90， ∴∠ACO+∠GCM=∠CAO+∠QAN=∠CAO+∠ACO =90， ∠QAN+∠ANQ =90， ∴∠GCM=∠OAC=∠QNA， ∴Rt△GCMRt△OACRt△QNA， ∴GC=OA=QN=2，GM=OC=QA=3， ∴M(3，1)，N(1，2)， ∵经过点M的新抛物线是原抛物线平移得到的， ∵原抛物线的顶点坐标为(2，4)， 由平移的性质得，新抛物线的顶点坐标为(2+3，4-2)，即(5，2)； 当AC为正方形ACNM的边时，如图，