专题09 角度的计算-2021-2022学年七年级数学上册压轴题专项讲练系列（人教版）

专题09 角度的计算（压轴题专项讲练） 【典例1】如图，点O为直线AB上一点，∠BOC＝40°，OD平分∠AOC． （1）求∠AOD的度数； （2）作射线OE，使∠BOE∠COE，求∠COE的度数； （3）在（2）的条件下，作∠FOH＝90°，使射线OH在∠BOE的内部，若∠DOF＝3∠BOH，求∠AOH的度数． 【思路点拨】 （1）根据平角定义和角平分线定义即可得结果； （2）根据题意分两种情况画图：①如图1，当射线OE在AB上方时，②如图2，当射线OE在AB下方时，∠BOE∠COE，利用角的和差进行计算即可； （3）根据题意分四种情况画图：①如图3，当射线OE在AB上方，OF在AB上方时，作∠FOH＝90°，使射线OH在∠BOE的内部，∠DOF＝3∠BOH，②如图4，当射线OE在AB上方，OF在AB下方时，③如图5，当射线OE在AB下方，OF在AB上方时，④如图6，当射线OE在AB下方，OF在AB下方时，利用角的和差进行计算即可． 【解答过程】 解：（1）∵∠BOC＝40°， ∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝140°， ∵OD平分∠AOC， ∴∠AODAOC＝70°； （2）①如图1，当射线OE在AB上方时，∠BOE∠COE， ∵∠BOE+∠COE＝∠BOC， ∴∠COE+∠COE＝40°， ∴∠COE＝24°； ②如图2，当射线OE在AB下方时，∠BOE∠COE， ∵∠COE﹣∠BOE＝∠BOC， ∴∠COE∠COE＝40°， ∴∠COE＝120°； 综上所述：∠COE的度数为24°或120°； （3）①如图3，当射线OE在AB上方，OF在AB上方时， 作∠FOH＝90°，使射线OH在∠BOE的内部，∠DOF＝3∠BOH， 设∠BOH＝x°，则∠DOF＝3x°，∠FOC＝∠COD﹣∠DOF＝70°﹣3x°， ∵∠AOH＝∠AOD+∠DOF+∠FOH＝70°+3x°+90°＝160°+3x°， ∠EOH＝∠BOC﹣∠COE﹣∠BOH＝40°﹣24°﹣x°＝16°﹣x°， ∴∠FOH＝∠FOC+∠COE+∠EOH＝70°﹣3x°+24°+16°﹣x°＝90°， ∴x°＝5°， ∴∠AOH＝160°+3x°＝175°； ②如图4，当射线OE在AB上方，OF在AB下方时， ∵∠AOF＝∠DOF﹣∠AOD＝3x°﹣70°， ∠BOF＝∠FOH﹣∠BOH＝90°﹣x°， ∠AOF+∠BOF＝180°， ∴3x°﹣70°+90°﹣x°＝180°， 解得x°＝80°， ∵∠COB＝40°， ∵80°＞40°， ∴x°＝80°不符合题意舍去； ③如图5，当射线OE在AB下方，OF在AB上方时， ∵∠AOF＝∠DOF+∠AOD＝3x°+70°， ∠BOF＝∠FOH﹣∠BOH＝90°﹣x°， ∠AOF+∠BOF＝180°， ∴3x°+70°+90°﹣x°＝180°， 解得x°＝10°， ∴∠AOH＝180°﹣∠BOH＝180°﹣x°＝170°； ④如图6，当射线OE在AB下方，OF在AB下方时， ∵∠AOF＝∠DOF﹣∠AOD＝3x°﹣70°， ∠BOF＝∠FOH+∠BOH＝90°+x°， ∠AOF+∠BOF＝180°， ∴3x°﹣70°+90°+x°＝180°， 解得x°＝40°， ∴∠AOH＝∠AOF+∠FOH＝50°+90°＝140°． 综上所述：∠AOH的度数为175°或170°或140°． 1．如图所示，能用∠α，∠AOB，∠O表示同一个角的是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】 角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示．角还可以用一个希腊字母表示，或用阿拉伯数字表示． 【解答过程】 解：能用∠α，∠AOB，∠O三种方法表示同一个角的图形是选项D中的图，选项B，C，D中的图都不能用∠α，∠AOB，∠O三种方法表示同一个角的图形， 故选：D． 2．如图所示，AOB是直线，图中小于180°的角共有（　　） A．7个 B．9个 C．8个 D．10个 【思路点拨】 按一定的规律数即可． 【解答过程】 解：有两种方法： （1）先数出以OA为一边的角，再数出以OB、OC、OD、OE为一边的角，把他们加起来． （2）可根据公式：来计算，其中，n指从点O发出的射线的条数． 图中角共有4+3+2+1＝10个， 根据题意要去掉平角，所以图中小于180°的角共有10﹣1＝9个． 故选：B． 3．（2020秋•锦江区校级期末）杨老师到几何王国去散步，刚走到“角”的家门，就听到∠A、∠B、∠C在吵架，∠A说：“我是48°15′，我应该最大!”∠B说：“我是48.3°，我应该最大!”．∠C也不甘示弱：“我是48.15°，我应该和∠A一样大!”听到这里，杨老师对它们说：“别吵了，你们谁大谁小，由我来作评判!”，杨老师评判的结果是（　　）