专题17 四边形周长求最值问题-2022年中考数学之二次函数重点题型专题（全国通用版）

专题17 四边形周长求最值问题 1．（2021·四川遂宁·中考真题）如图，已知二次函数的图象与x轴交于A和B（－3，0）两点，与y轴交于C（0，－3），对称轴为直线，直线y＝－2x＋m经过点A，且与y轴交于点D，与抛物线交于点E，与对称轴交于点F． （1）求抛物线的解析式和m的值； （2）在y轴上是否存在点P，使得以D、E、P为顶点的三角形与△AOD相似，若存在，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由； （3）直线y＝1上有M、N两点（M在N的左侧），且MN＝2，若将线段MN在直线y＝1上平移，当它移动到某一位置时，四边形MEFN的周长会达到最小，请求出周长的最小值（结果保留根号）． 【答案】（1）；m=2；（2）存在，或；（3） 【分析】 （1）根据抛物线的对称性求出A（1，0），再利用待定系数法，即可求解；再把点A坐标代入直线的解析式，即可求出m的值； （2）先求出E（-5，12），过点E作EP⊥y轴于点P，从而得，即可得到P的坐标，过点E作，交y轴于点，可得，再利用tan∠ADO=tan∠PE，即可求解； （3）作直线y=1，将点F向左平移2个单位得到，作点E关于y=1的对称点，连接与直线y=1交于点M，过点F作FN∥，交直线y=1于点N，在中和 中分别求出EF， ，进而即可求解． 【详解】 （1）解：∵二次函数的图象与x轴交于A和B（－3，0）两点，对称轴为直线， ∴A（1，0）， 设二次函数解析式为：y=a(x-1)(x+3)，把C（0，－3）代入得：-3=a(0-1)(0+3)，解得：a=1， ∴二次函数解析式为：y= (x-1)(x+3)，即：， ∵直线y＝－2x＋m经过点A， ∴0=-2×1+m，解得：m=2； （2）由（1）得：直线AF的解析式为：y=-2x+2， 又∵直线y=-2x+2与y轴交于点D，与抛物线交于点E， ∴当x=0时，y=2，即D（0，2）， 联立，解得：，， ∵点E在第二象限， ∴E（-5，12）， 过点E作EP⊥y轴于点P， ∵∠ADO=∠EDP，∠DOA=∠DPE=90°， ∴， ∴P（0，12）； 过点E作，交y轴于点，可得， ∵∠ED+∠PED=∠PE+∠PED=90°， ∴∠ADO=∠ED=∠PE，即：tan∠ADO=tan∠PE， ∴，即：，解得：， ∴（0，14.5）， 综上所述：点P的坐标为（0，12）或（0，14.5）； （3）∵点E、F均为定点， ∴线段EF长为定值， ∵MN=2， ∴当EM+FN为最小值时，四边形MEFN的周长最小， 作直线y=1，将点F向左平移2个单位得到，作点E关于y=1的对称点，连接与直线y=1交于点M，过点F作FN∥，交直线y=1于点N， 由作图可知：， 又∵三点共线， ∴EM+FN=，此时，EM+FN的值最小， ∵点F为直线y=-2x+2与直线x=-1的交点， ∴F（-1，4）， ∴（-3，4）， 又∵E（-5，12）， ∴（-5，-10）， 延长F交线段E于点W， ∵F与直线y=1平行， ∴FW⊥E， ∵在中，由勾股定理得：EF=， 在中，由勾股定理得：=， ∴四边形MEFN的周长最小值=ME+FN+EF+MN=． 【点睛】 本题主要考查二次函数与平面几何的综合，掌握待定系数法，相似三角形的判定和性质，添加辅助线，利用轴对称图形的性质，构造线段和的最小值，是解题的关键． 2．（2021·新疆沙依巴克·中考三模）如图，抛物线经过点，与轴交于点和点（点在点的右边），且． （1）求抛物线的解析式和顶点坐标； （2）如图1，点、在直线上的两个动点，且，点在点的上方，求四边形的周长的最小值； （3）如图2，点为抛物线上一点，连接，直线把四边形的面积分为3：5两部分，求点的坐标． 【答案】（1），顶点坐标为（1，4）； （2）四边形的周长的最小值为；（3）点的坐标为（4，－5）或（8，－45）. 【分析】 （1）根据待定系数法求得a、b、c的值即可确定抛物线的解析式，再利用配方法得出顶点坐标． （2）把向下移1个单位得点，再作关于抛物线的对称轴的对称点，连接，与对称轴交于点，再在对称轴上点上方取点，使得，连接，此时四边形的周长最小，根据勾股定理即可得出． （3）分或两种情况讨论即可． 【详解】 解：（1）∵点，， ∴, 把、、三点坐标代入，得 ，解得， ∴抛物线的解析式为：， ∵， ∴顶点坐标为（1，4）； （2）把向下移1个单位得点，再作关于抛物线的对称轴的对称点，连接，与对称轴交于点，再在对称轴上点上方取点，使得，连接，此时四边形的周长最小， 则, ∵, ∴, ∵对称轴是直线， ∴, ∵, ∴, , ∴四边形的周长的最小值为； （3）如图，设直线交轴于点， 直线把四边形的面积分为3：5两部分， 又∵， 则或5:3， 则或1.5， 即点的坐