课时作业(十七) 导数与不等式恒成立（微练）-2022高考理科数学【赢在微点】大一轮复习顶层设计 配套word

课时作业(十七)　导数与不等式恒成立 1．已知函数f(x)＝ax2－xln x。 (1)若函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，求实数a的取值范围； (2)若a＝e(e为自然对数的底数)，证明：当x>0时，f(x)<xex＋。 解　(1)由题意知，f′(x)＝2ax－ln x－1。 因为函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增， 所以当x>0时，f′(x)≥0，即2a≥恒成立。 令g(x)＝， (x>0)，则g′(x)＝－ 易知g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， 则g(x)max＝g(1)＝1， 所以2a≥1，即a≥。 故实数a的取值范围是。 (2)证明：若a＝e，要证f(x)<xex＋， 只需证ex－ln x<ex＋， 即ex－ex<ln x＋。 令h(x)＝ln x＋， (x>0)，则h′(x)＝ 易知h(x)在＝0， 上单调递增，则h(x)min＝h上单调递减，在 所以ln x＋≥0。 再令φ(x)＝ex－ex，则φ′(x)＝e－ex， 易知φ(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， 则φ(x)max＝φ(1)＝0， 所以ex－ex≤0。 因为h(x)与φ(x)不同时为0， 所以ex－ex<ln x＋，故原不等式成立。 2．已知函数f(x)＝ln x－ax(a∈R)。 (1)讨论函数f(x)在(0，＋∞)上的单调性； (2)证明：ex－e2ln x>0(e为自然对数的底数)恒成立。 解　(1)f′(x)＝(x>0)。 －a＝ 当a≤0时，f′(x)>0恒成立， 所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增。 当a>0时，令f′(x)＝0，得x＝， 所以当x∈时，f′(x)<0，f(x)单调递减。 时，f′(x)>0，f(x)单调递增，当x∈ 综上所述，当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a>0时，f(x)在上单调递减。 上单调递增，在 (2)证明：由(1)可知，当a>0时，f(x)＝ln x－ax≤ln－1， 特别地，取a＝， ≤0，即ln x≤，有ln x－ 所以e2ln x≤ex(当且仅当x＝e时等号成立)， 因此，要证ex－e2ln x>0恒成立， 只要证明ex≥ex(等号成立时x≠e)在(0，＋∞)上恒成立即可。 设g(x)＝， (x>0)，则g′(x)＝ 所以当x∈(0,1)时，g′(x)<0，g(x)单调递减，当x∈(1，＋∞)时，g′(x)>0，g(x)单调递增。 所以当x＝1时，g(x)取得最小值， 即g(x)min＝g(1)＝e， 即ex≥ex在(0，＋∞)上恒成立。 因此ex≥ex≥e2ln x， 又因为两个等号不能同时成立，所以ex－e2ln x>0恒成立。 3．(2021·江西五校协作体联考)已知函数f(x)＝ex＋bx(e为自然对数的底数)。 (1)讨论f(x)的单调性； (2)若b＝1，当x2>x1>0时，f(x1)－f(x2)<(x1－x2)(mx1＋mx2＋1)恒成立，求实数m的取值范围。 解　(1)由f(x)＝ex＋bx得f′(x)＝ex＋b， 若b≥0，则f′(x)>0，即f(x)＝ex＋bx在(－∞，＋∞)上是增函数； 若b<0，令f′(x)>0得x>ln(－b)， 令f′(x)<0得x<ln(－b)， 即f(x)＝ex＋bx在(－∞，ln(－b))上是减函数，在(ln(－b)，＋∞)上是增函数。 (2)由题意知f(x)＝ex＋x， f(x1)－f(x2)<(x1－x2)(mx1＋mx2＋1)， 即f(x1)－mx－x2， －x1<f(x2)－mx 由x2>x1>0知，上式等价于函数φ(x)＝f(x)－mx2－x＝ex－mx2在(0，＋∞)上为增函数， 所以φ′(x)＝ex－2mx≥0(x>0)，即2m≤(x>0)。 令h(x)＝， (x>0)，则h′(x)＝ 当h′(x)<0时，0<x<1；当h′(x)>0时，x>1；当h′(x)＝0时，x＝1。 所以h(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， 所以h(x)min＝h(1)＝e，则2m≤e，即m≤， 所以实数m的取值范围为。 4．(2020·新 高考Ⅰ卷)已知函数f(x)＝aex－1－ln x＋ln a(e为自然对数的底数)。 (1)当a＝e时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； (2)若f(x)≥1，求a的取值范围。 解　f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝aex－1－。 (1)当a＝e时，f(x)＝ex－ln x＋1，f′(1)＝e－1，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－(e＋1)＝(e－1)(x－1)，即y＝(e－1)x＋2。 直线y＝(e－1)x＋2在x轴，y轴上的截距分别为，2。 因此所求三角形