课时作业(十六) 导数与不等式证明（微练）-2022高考理科数学【赢在微点】大一轮复习顶层设计 配套word

课时作业(十六)　导数与不等式证明 1．已知函数f(x)＝(a－1)ln x＋x＋，a∈R。 (1)讨论函数f(x)的单调性； (2)当a<－1时，证明：∀x∈(1，＋∞)，f(x)>－a－a2。 解　(1)f′(x)＝。 ＝＝＋1－ 因为x>0，a∈R， 所以当a≥0时，x＋a>0，函数f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增； 当－1<a<0时，0<－a<1，函数f(x)在(0，－a)上单调递增，在(－a,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增； 当a＝－1时，f′(x)＝≥0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增； 当a<－1时，－a>1，函数f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，－a)上单调递减，在(－a，＋∞)上单调递增。 (2)证明：当a<－1时，由(1)得，函数f(x)在(1，－a)上单调递减，在(－a，＋∞)上单调递增， 所以函数f(x)在(1，＋∞)上的最小值为f(－a)＝(a－1)ln(－a)－a－1。 欲证∀x∈(1，＋∞)，f(x)>－a－a2， 即证－a－a2<(a－1)ln(－a)－a－1， 即证a2＋(a－1)ln(－a)－1>0。 因为a<－1，所以只需证ln(－a)<－a－1。 令h(x)＝ln x－x＋1(x≥1)， 则h′(x)＝≤0， －1＝ 所以函数h(x)在[1，＋∞)上单调递减， 所以h(x)≤h(1)＝0。 因为a<－1，所以－a>1。 所以h(－a)＝ln(－a)＋a＋1<0， 即当a<－1时，ln(－a)<－a－1成立。 所以当a<－1时，∀x∈(1，＋∞)，f(x)>－a－a2。 2．已知函数f(x)＝ax－ln x－1。 (1)若f(x)≥0恒成立，求a的最小值； (2)证明：＋x＋ln x－1≥0(e为自然对数的底数)。 解　(1)f(x)≥0等价于a≥。 令g(x)＝， ，则g′(x)＝ 所以当x∈(0,1)时，g′(x)>0， 当x∈(1，＋∞)时，g′(x)<0， 则g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， 所以g(x)max＝g(1)＝1，则a≥1， 所以a的最小值为1。 (2)证明：当a＝1时，由(1)得x≥ln x＋1，即t≥ln t＋1。 令＝t，则－x－ln x＝ln t， 所以＋x＋ln x－1≥0。≥－x－ln x＋1，即 3．已知函数f(x)＝x－1－aln x(a<0)。 (1)讨论函数f(x)的单调性； (2)若对于任意的x1，x2∈(0,1]，且x1≠x2，都有|f(x1)－f(x2)|<4，求实数a的取值范围。 解　(1)由题意知f′(x)＝1－(x>0)， ＝ 因为x>0，a<0，所以f′(x)>0， 所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增。 (2)不妨设0<x1<x2≤1，则≥1， > 由(1)知f(x1)<f(x2)， 所以|f(x1)－f(x2)|<4。 >f(x2)＋⇔f(x1)＋⇔f(x2)－f(x1)<4 设g(x)＝f(x)＋，x∈(0,1]， 则g(x)在(0,1]上单调递减， 所以g′(x)≤0在(0,1]上恒成立⇔1－在(0,1]上单调递增，其最大值为－3。 在(0,1]上恒成立，易知y＝x－≤0在(0,1]上恒成立⇔a≥x－＝－ 因为a<0，所以－3≤a<0， 所以实数a的取值范围为[－3,0)。 4．(2021·衡水二调)已知函数f(x)＝x2－2ax＋e2＋(a∈R，e为自然对数的底数)。 － (1)当a＝e时，求曲线y＝f(x)在点(e，f(e))处的切线方程； (2)证明：当a≤e时，不等式x3－2ax2≥ln x－x成立。 解　(1)由题意知，当a＝e时，f(x)＝x2－2ex＋e2＋，令x＝e，得f(e)＝0， － 又f′(x)＝2x－2e－， 所以f′(e)＝0，则曲线y＝f(x)在点(e，f(e))处的切线方程为y＝0。 (2)证明：当a≤e时，－2ax2≥－2ex2， 要证x3－2ax2≥ln x－x成立， 只需证x3－2ex2≥ln x－x成立， 即证x2－2ex≥成立， － 即证x2－2ex＋e2＋成立。 ≥ 令g(x)＝x2－2ex＋e2＋(x>0)。 (x>0)，h(x)＝ 则g′(x)＝2x－2e， 由g′(x)<0得0<x<e， 由g′(x)>0，得x>e， 故g(x)在(0，e)上单调递减，在(e，＋∞)上单调递增，故g(x)≥g(e)＝。 h′(x)＝，由h′(x)>0得0<x<e， 由h′(x)<0得x>e， 故h(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减， 故h(x)≤h(e)＝， 所以g(x)≥h(x)成立，故原不等式成立。 5．(2021·武昌区调研考试)已知函数f(x)＝ex＋x－e－1(e为自然对数的底数)。 (1)若f