课时作业(六) 函数的奇偶性与周期性（微练）-2022高考理科数学【赢在微点】大一轮复习顶层设计 配套word

课时作业(六)　函数的奇偶性与周期性 　基础过关组　 一、选择题 1．下列函数中，既是奇函数，又是增函数的为(　　) A．y＝x＋1 B．y＝－x2 C．y＝ D．y＝x|x| 解析　对于A，y＝x＋1为非奇非偶函数，不满足条件。对于B，y＝－x2是偶函数，不满足条件。对于C，y＝是奇函数，但在定义域上不是增函数，不满足条件。对于D，设f(x)＝x|x|，则f(－x)＝－x|x|＝－f(x)，则函数为奇函数，当x>0时，y＝x|x|＝x2，此时为增函数，当x≤0时，y＝x|x|＝－x2，此时为增函数，综上，y＝x|x|在R上为增函数。故选D。 答案　D 2．设函数f(x)＝x(ex＋e－x)，则f(x)(　　) A．是奇函数，且在(0，＋∞)上单调递增 B．是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增 C．是奇函数，且在(0，＋∞)上单调递减 D．是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减 解析　由条件可知，f(－x)＝(－x)(e－x＋ex)＝－x(ex＋e－x)＝－f(x)，故f(x)为奇函数。f′(x)＝ex＋e－x＋x(ex－e－x)，当x>0时，ex>e－x，所以x(ex－e－x)>0，又ex＋e－x>0，所以f′(x)>0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增。故选A。 答案　A 3．函数f(x)＝x3＋sin x＋1(x∈R)。若f(m)＝2，则f(－m)的值为(　　) A．3 B．0 C．－1 D．－2 解析　把f(x)＝x3＋sin x＋1变形为f(x)－1＝x3＋sin x。令g(x)＝f(x)－1＝x3＋sin x，则g(x)为奇函数，有g(－m)＝－g(m)，所以f(－m)－1＝－[f(m)－1]，得到f(－m)＝－(2－1)＋1＝0。 答案　B 4．函数f(x)＝的图象(　　) A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于坐标原点对称 D．关于直线y＝x对称 解析　因为f(x)＝＝3x＋3－x，易知f(x)为偶函数，所以函数f(x)的图象关于y轴对称。 答案　B 5．设f(x)是定义在R上周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)＝x2－x，则f＝(　　) A．－ B．－ C. D. 解析　因为f(x)是定义在R上周期为2的奇函数，所以f。 ＝，则f＝－2－＝。又当0≤x≤1时，f(x)＝x2－x，所以f＝－f＝－f 答案　C 6．已知定义在R上的奇函数y＝f(x)满足f(x＋8)＋f(x)＝0，且f(5)＝5，则f(2 019)＋f(2 024)＝(　　) A．－5 B．5 C．0 D．4 043 解析　由f(x＋8)＋f(x)＝0，得f(x＋8)＝－f(x)，所以f(x＋16)＝－f(x＋8)＝f(x)，故函数y＝f(x)是以16为周期的周期函数。在f(x＋8)＋f(x)＝0中，令x＝0，得f(8)＋f(0)＝0，因为函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0。故f(8)＝0。故f(2 024)＝f(16×126＋8)＝f(8)＝0。又在f(x＋8)＋f(x)＝0中，令x＝－3，得f(5)＋f(－3)＝0，得f(5)＝－f(－3)＝f(3)＝5，则f(2 019)＝f(16×126＋3)＝f(3)＝5，所以f(2 019)＋f(2 024)＝5。故选B。 答案　B 7．(2021·武汉市质量监测)已知函数f(x)＝axsin x＋xcos x(a∈R)为奇函数，则f＝(　　) A．－ B．－ C. D. 解析　解法一：因为f(x)为奇函数，所以∀x∈R，f(－x)＝－f(x)，即a(－x)sin(－x)＋(－x)cos(－x)＝－(axsin x＋xcos x)，整理得2axsin x＝0，所以a＝0，f(x)＝xcos x，f。故选A。 ＝－cos＝－ 解法二：因为f(x)为奇函数，y＝xcos x为奇函数，所以y＝f(x)－xcos x＝axsin x为奇函数，所以a＝0，f(x)＝xcos x，f。故选A。 ＝－cos＝－ 答案　A 8．已知定义在R上的奇函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，且当x∈[0,1]时，f(x)＝log2(x＋1)，则下列不等式正确的是(　　) A．f(log27)<f(－5)<f(6) B．f(log27)<f(6)<f(－5) C．f(－5)<f(log27)<f(6) D．f(－5)<f(6)<f(log27) 解析　因为奇函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以f(1＋x)＝f(1－x)，f(－x)＝－f(x)，所以f(2＋x)＝f(－x)＝－f(x)，f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以函数f(x)是以4为周期的周期函数，所以f(－5)＝f(－1)＝－f(1)＝－1，f(6)＝f(2)＝f(0)