江西省景德镇市2022届高三第一次质检数学（理）试题

景德镇市2022届高三第一次质检试题 数学（理科） 命题 景德镇一中 方哲 景德镇二中 马小宇 审核 刘倩 乐平中学 江海风 昌江一中 徐金燕 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则 A． B． C． D． 2．复数满足，则复数在复平面内对应点落在 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．若某台电脑每秒生成一个数字1或2，则该电脑运行三秒后生成的数字之和能被3整除的概率为 A． B． C． D． 4．若，则函数的零点为 A． B． C． D． 5．已知点坐标,为坐标原点，则的最小值是 A．1 B． C． D． 6．蒲丰是18世纪的法国博物学家，曾在1777年出版的著作中提出了“投针问题”：取一张画有若干条等矩平行线的白纸，随机地向纸上投掷长度小于平行线间距的短针，记录下针与线的相交情况，可用来估计圆周率。蒲丰发现当短针长度恰好为平行线间距一半时，针线相交的概率为。现用针长为平行线间距一半的短针投掷5000次，记录下短针与线相交1590次，则此次投针实验中得到的圆周率的近似值约为 A．3.12 B．3.13 C．3.14 D．3.15 7．已知某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为 A． B． C． D． 8．下列命题中，真命题为 A．存在，使得 B．直线，平面，平面，则平面 C．最小值为4 D．，是成立的充分不必要条件 9．已知双曲线：，直线过双曲线的右焦点且斜率为，直线与双曲线的两条渐近线分别交于、两点（点在轴的上方），且，则双曲线的离心率为 A．2 B． C． D． 10．在三棱锥中，平面平面，，，，的面积为，则三棱锥的外接球体积为 A． B． C． D． 11．已知椭圆：上有一动点（异于顶点），点、分别在、轴上，使得为的中点，若轴上一点，满足，则的最小值为 A．3 B． C． D．5 12．定义在上的函数，满足对于任意总有成立，且当时 ，函数。设两函数图像交点坐标为，当时，实数的取值范围为 A． B． C． D． 第Ⅱ卷（非选择题） 本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生必须做答第22题～第23题为选考题，考生根据要求做答。 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。 13．二项式展开式中，的系数是________。（用数字作答） 14．已知向量，夹角为60°，且，，则________。 15．数列的前项和为，且，，则________。 16．已知函数（其中，），当时恒成立，则的取值范围为________。 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必做题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选做题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共60分。 17．（12分）锐角中，角，，的对边分别为，，，面积。 （1）求的值； （2）若，求的周长的取值范围。 18．（12分）如图所示，在四棱锥中，平面，，四边形为梯形，，，，，，，点在上，满足。 （1）求证：平面平面； （2）若点为的中点，求平面与平面所成角的余弦值。 19．（12分）小明同学参加了本次数学质检测验，在做选择题时（每题5分），前9道题均会做，但由于粗心做错一题，后3题不会做，只好每题从四个选项中随机蒙了一个。 （1）求小明同学选择题得分不低于50分的概率； （2）当小明同学完成填空题时，考试时间只剩55分钟，此时还需完成6道解答题。若根据小明同学近期几次模拟考时一道解答题平均所需花费时间估计概率（下表所示） 一题所需时长/分钟 8 9 10 概率 0.5 以小明同学答题时间的期望为依据，预计小明同学这次质检能顺利完成所有题目，求的取值范围。 20．（12分）已知抛物线，过点作直线、，满足与抛物线恰有一个公共点，交抛物线于、两点。 （1）若，求直线的方程； （2）若直线与抛物线和相切于点，且、的斜率之和为0，直线、分别交轴于点、，求线段长度的最大值。 21．（12分）设函数。 （1）当时，求函数在处的切线方程； （2）若函数单调递增，求实数的取值范围。 （二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题做答。如果多做，则按所做的第一题记分。 22．|选修4-4：坐标系与参数方程|（10分） 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，），直线的参数方程为（为参数，），直线，垂足为。以为坐标原点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系。 （1）分别写出曲线与直线的极坐标方程； （2）设直线、分别与曲线交于、与、，顺次连接、、、四个点构成四边形，