辽宁省渤海大学附属高级中学2021-2022学年高三上学期期中数学试题

2021高三第三次月考 数学试卷 一、单选题（每题5分，共40分） 1．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 2．设（i是虛数单位），其中a，b是实数，则（ ） A．1 B． C． D．2 3．若，则（ ） A． B． C． D． 4．《九章算术》是中国古代第一部数学专著，全书收集了246个数学问题，其中一个问题为“今有竹九节，下三节容量四升，上四节容量三升，问中间二节欲均容各多少？”其中“欲均容”的意思是：使容量变化均匀，即由下往上均匀变细，该问题中由上往下数的第2节，第3节，第8节竹子的容积之和为（ ） A．升 B．升 C．升 D．升 5．已知向量，，若，则（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 6．设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（ ） A．-4 B．-3 C．3 D．4 7．设，是两条不重合的直线，，是两个不重合的平面，给出下列四个命题：①若，，，，则②，，则③若，，则④若，，则，其中正确的命题个数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 8．已知函数的导函数为．对任意的实数x都有，，则不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 二、多选题（每题5分，共20分，选错得0分，漏选得2分） 9．关于平面向量，有下列四个命题，其中说法正确的是（ ） A．若，则 B．，，若与平行，则 C．非零向量和满足，则与的夹角为60° D．点，，与向量同方向的单位向量为 10．已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A． B． C．在区间上单调递增 D．若，则 11．如图，边长为1的正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面互相垂直，动点M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，且．则下列结论中正确的有（ ） A．当时，ME与CN相交 B．MN始终与平面BCE平行 C．异面直线AC与BF所成的角为45° D．当时，MN的长最小，最小为 12．某同学对函数进行研究后，得出以下结论，其中正确的有（ ） A．函数的图象关于y轴对称 B．对定义域中的任意实数x的值，恒有成立 C．函数的图象与x轴有无穷多个交点，且每相邻两交点间距离相等 D．对任意常数，存在常数，使函数在上单调递减，且 三、填空题（每题5分，共20分） 13．等比数列各项为正，，，成等差数列，为的前n项和，则______． 14．已知，为互相垂直的单位向量，，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围为______． 15．已知关于x的一元二次不等式的解集为，则的最小值是______． 16．已知函数，，函数的图象在点和点的两条切线互相垂直，且分别与y轴交于P，Q两点，则的取值范围是______． 四、解答题（共70分） 17．（满分10分）已知数列满足，，． （1）求证：是等比数列； （2）求的通项公式． 18．（满分12分）在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且． （1）求角B； （2）若，，点D在边AC上，且，求BD的长． 19．（满分12分）在四棱锥中，平面平面ABCD，，，，，，M为PC的中点． （1）求证：平面BMD； （2）求三棱锥的体积 20．（满分12分）已知数列前n项和为，若，且，，，成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）设，数列的前n项和为，求证：． 21．（满分12分）已知，． （1）若，求的值； （2）设，将函数的图像向右平移个单位长度得到曲线C，保持C上各点的纵坐标保持不变，将横坐标变为原来的倍得到的图像，且关于x的方程在上有解，求m的取值范围． 22．（满分12分）已知函数． （1）若函数存在两个极值点，，求a的取值范围； （2）在（1）的条件下，若不等式恒成立，求m的取值范围． 参考答案 1．C 2．B 3．D 4．A 5．A 6．A 7．B 8．C 9．BD 10．AD 11．BD 12．ABD 13． 14．且 15． 16． 17．（1）证明：∵an＋1＝2an＋1，∴an＋1＋1＝2(an＋1)，即bn＋1＝2bn， ∵b1＝＋1＝2≠0.∴bn≠0，∴＝2，∴{bn}是等比数列．--------------------5 （2）由（1）知{bn}是首项b1＝2，公比为2的等比数列， ∴bn＝2×2n－1＝2n，即an＋1＝2n，∴an＝2n－1. --------------------5 18．（1） ∵，∴，∵，∴. -----------------6 （2）设，，则 在中，. 在中：① 在中：② ①+②×2：，综上. --------------------12 19．（1）证明：在四边形中，，，，， 所以， 所以， 在中，由余