专题训练31：抛物线的存在探索性问题 -2021-2022学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

专题31：抛物线的存在探索性问题 1．已知点P到直线y＝－3的距离比点P到点A(0，1)的距离多2. （1）求点P的轨迹方程； （2）经过点Q(0，2)的动直线l与点P的轨迹交于M，N两点，是否存在定点R使得∠MRQ＝∠NRQ？若存在，求出点R的坐标；若不存在，请说明理由. 2．如图，已知抛物线的焦点为，过焦点F作直线交抛物线于A，B两点，在A，B两点处的切线相交于N，再分别过A，B两点作准线的垂线，垂足分别为C，D. （1）求证：点N在定直线上； （2）是否存在点N，使得的面积是的面积和的面积的等差中项，若存在，请求出点N的坐标，若不存在，请说明理由. 3．已知抛物线（）的焦点为，过作一条直线与抛物线相交于、两点． （1）若直线的倾斜角为，请用表示、两点之间的距离； （2）若点在抛物线的准线上的射影为点，求证：、、在同一条直线上； （3）在轴上是否存在点，使得点关于直线的对称点在抛物线上？如果存在，求出所有满足条件的点的坐标；如果不存在，请说明理由． 4．已知抛物线，过其焦点且斜率为的直线交抛物线于两点，若线段的中点的纵坐标为． （1）求抛物线的方程； （2）若点，问x轴上是否存在点，使得过点的任一条直线与抛物线交于点两点，且点到直线的距离相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 5．从抛物线上任意一点P向x轴作垂线段，垂足为Q，点M是线段上的一点，且满足. （1）求点M的轨迹C的方程； （2）设直线与轨迹C交于A，B两点，T为C上异于A，B的任意一点，直线，分别与直线交于D，E两点，以为直径的圆是否过x轴上的定点？若过定点，求出符合条件的所有定点坐标；若不过定点，请说明理由. 6．如图，点F为抛物线：的焦点，点M是抛物线在第二象限上的一点，过点M作圆：的两条切线，交于A，B两点，抛物线在点M处的切线分别交轴，轴于点P，Q （1）求证：为定值； （2）是否存在点M，使得A，B，P三点共线，若存在，求M点坐标，不存在，说明理由 7．已知抛物线与圆一个交点的横坐标，的一条切线过点，与交于，两点，且点在点的右侧，为坐标原点. （1）证明：； （2）若过点的直线与交于不同的两点，. ①求直线的斜率的取值范围； ②是否存在一定点，使得为定值？若存在，求出定点和定值；若不存在.请说明理由. 8．已知抛物线，与圆有且只有两个公共点． （1）求抛物线的方程； （2）经过的