专题训练29：抛物线的定直线问题 -2021-2022学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

专题29：抛物线的定直线问题 1．已知抛物线C：（）与圆O：相交于A，B两点，且点A的横坐标为.F是抛物线C的焦点，过焦点的直线l与抛物线C相交于不同的两点M，N. （1）求抛物线C的方程. （2）过点M，N作抛物线C的切线，，是，的交点，求证：点P在定直线上. 2．如图，已知抛物线C：的焦点F，过x轴上一点作两条直线分别交抛物线于A，B和C，D，设和所在直线交于点P．设M为抛物线上一点，满足以下的其中两个条件：①M点坐标可以为；②轴时，；③比M到y轴距离大1． （1）抛物线C同时满足的条件是哪两个？并求抛物线方程； （2）判断并证明点P是否在某条定直线上，如果是，请求出该直线；如果不是，请说明理由． 3．如图，已知点，、为抛物线上不同的两点（在的右上方，在直线的下方），满足. （1）证明：的中点位于某定直线上； （2）记内切圆、外接圆的半径分别为、，求的最小值. 4．在平面直角坐标系中，已知抛物线及点，动直线过点交抛物线于，两点，当垂直于轴时，. （1）求的值； （2）若与轴不垂直，设线段中点为，直线经过点且垂直于轴，直线经过点且垂直于直线，记，相交于点，求证：点在定直线上. 5．已知圆，抛物线，倾斜角为的直线过的焦点且与相切. （1）求的值； （2）点在的准线上，动点在上，在点处的切线交轴于点，设四边形为平行四边形，求证：点在直线上. 6．已知圆经过点与直线相切，圆心的轨迹为曲线，过点做直线与曲线交于不同两点，三角形的垂心为点. （1）求曲线的方程； （2）求证：点在一条定直线上，并求出这条直线的方程. 7．已知抛物线L：（）的焦点为F，过点的动直线l与抛物线L交于A，B两点，直线交抛物线L于另一点C，直线的最小值为4. （1）求椭圆C的方程； （2）若过点A作y轴的垂线m，则x轴上是否存在一点，使得直线PB与直线m的交点恒在一条定直线上？若存在，求该点的坐标及该定直线的方程；若不存在，请说明理由. 8．平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2＝2px（p＞0）及点M（2，0），动直线l过点M交抛物线于A，B两点，当l垂直于x轴时，AB＝4. （1）求p的值； （2）若l与x轴不垂直，设线段AB中点为C，直线l1经过点C且垂直于y轴，直线l2经过点M且垂直于直线l，记l1，l2相交于点P，求证：点P在定直线上. 9．已知椭圆：的离心率为，且经过点 Ⅰ求椭圆的标准方