专题训练27：抛物线的定点问题 -2021-2022学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

专题27：抛物线的定点问题 1．已知抛物线的焦点为，过点且垂直于轴的直线与交于，两点，(点为坐标原点)的面积为. （1）求抛物线的方程； （2）设不经过原点的直线与抛物线交于､两点，设直线､的倾斜角分别为和，证明：当时，直线恒过定点. 2．已知点，，动点满足．记点的轨迹为曲线． （1）求的方程； （2）设为直线上的动点，过作的两条切线，切点分别是，．证明：直线过定点． 3．设抛物线的焦点为，已知直线：，圆：. （1）设直线与圆的交点分别为，，求当取得最小值时，直线的方程； （2）若抛物线过圆的圆心，直线，过同一定点且与抛物线相交于，和，点，，设是的中点，是的中点，证明：直线恒过定点. 4．已知抛物线的焦点是椭圆的一个顶点. （1）求抛物线的方程； （2）若点，、为抛物线上的不同两点，且，问：直线是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由. 5．在平面直角坐标系中，已知直线被抛物线截得的弦长为，直线与抛物线相交于点，，点，且直线，的斜率之和为4. （1）求抛物线的方程； （2）求证：直线过定点，并求出定点坐标. 6．已知抛物线的焦点为，是上一点，且. （1）求抛物线的方程； （2）设点是上异于点的一点，直线与直线交于点，过点作轴的垂线交抛物线于点，证明：直线过定点，并求出该定点坐标. 7．在平面直角坐标系中，为直线上的动点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为为的中点. （1）证明轴； （2）直线是否恒过定点？若是，求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由. 8．已知点，，为直线上的两个动点，且，动点满足，（其中为坐标原点）. （1）求动点的轨迹的方程； （2）若直线与轨迹相交于两不同点、，如果，证明直线必过一定点，并求出该定点的坐标. 9．平面上动点M到定点的距离比M到直线的距离小1． （1）求动点M满足的轨迹方程C﹔ （2）若A，B是（1）中方程C表示的曲线上的两点，且（O为坐标原点）．试问直线是否经过定点，并说明理由． 10．设抛物线：（）的焦点为，点是抛物线上一点，且． （1）求抛物线的方程； （2）设直线与抛物线交于，两点，若，求证：线段的垂直平分线过定点． 11．已知是抛物线的焦点，是抛物线上一点，且. （1）求抛物线的方程； （2）已知斜率存在的直线与抛物线交于，两点，若直线，的倾斜角互补，则直线是否会过某个定点？若是，求出该定点坐标，若不