专题训练21： 双曲线的存在探索性问题 -2021-2022学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

专题21：双曲线的存在探索性问题 1．已知双曲线C过点，且渐近线方程为，直线l与C交于M、N两点， （1）求双曲线C的方程； （2）若直线l过原点，点P是曲线C上任一点，直线PM、PN的斜率都存在，记为、，求证：为定值； （3）若直线l过点，在x轴上是否存在定点Q，使得为常数？若存在，求出点Q坐标及此常数的值，若不存在，说明理由. 2．已知双曲线. （1）倾斜角45°且过双曲线右焦点的直线与此双曲线交于M，N两点，求. （2）过点的直线l与此双曲线交于，两点，求线段中点P的轨迹方程； （3）过点能否作直线m，使m与此双曲线交于，两点，且点B是线段的中点?这样的直线m如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由. 3．已知双曲线经过点，两条渐近线的夹角为，直线交双曲线于､两点. （1）求双曲线的方程； （2）若过原点，为双曲线上异于､的一点，且直线､的斜率､均存在，求证：为定值； （3）若过双曲线右焦点，是否存在轴上的点，使得直线绕点无论怎样转动，都有成立？若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由. 4．已知直线是双曲线的一条渐近线，点在双曲线C上，设坐标原点为O. （1）求双曲线C的方程； （2）若过点的直线l与双曲线C交于R、S两点，若，求直线l的方程； （3）设在双曲线上，且直线AM与y轴相交于点P，点M关于y轴对称的点为N，直线AN与y轴相交于点Q，问：在x轴上是否存在定点T，使得？若存在，求出点T的坐标；若不存在，说明理由. 5．已知圆，点，点是圆上的动点，的垂直平分线交直线于点 （1）求点的轨迹方程； （2）过点的直线交曲线于两点，在轴上是否存在点，使得直线和的倾斜角互补，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由. 6．已知，点满足，记点的轨迹为.斜率为的直线过点，且与轨迹相交于两点. （1）求轨迹的方程； （2）求斜率的取值范围； （3）在轴上是否存在定点，使得无论直线绕点怎样转动，总有成立？如果存在，求出定点；如果不存在，请说明理由. 7．已知双曲线：，设是双曲线上任意一点，为坐标原点，为双曲线右焦点，，为双曲线的左右顶点. （1）已知：无论点在右支的何处，总有，求的取值范围； （2）设过右焦点的直线交双曲线于，两点，若存在直线，使得为等边三角形，求的值； （3）若，，动点在双曲线上，且与双曲线的顶点不重合，直线和直线与直线：分别相交于点和，试问：是