专题训练11：椭圆中的存在探索性问题 -2021-2022学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

专题11：椭圆中的存在探索性问题 1．已知椭圆：，长轴为4，不过坐标原点且不平行于坐标轴的直线与椭圆有两个交点，，线段的中点为，直线的斜率与直线的斜率的乘积为定值. （1）求椭圆的方程； （2）若直线过右焦点，问轴上是否存在点，使得三角形为正三角形，若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由. 2．已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上一动点，当的面积最大时，其内切圆半径为，椭圆的左、右顶点分别为，，且． （1）求椭圆的标准方程； （2）过的直线与椭圆相交于点，（不与顶点重合），过右顶点分别作直线，与直线相交于，两点，以为直径的圆是否恒过某定点？若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由． 3．椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)经过点A(－2，0)，且离心率为. （1）求椭圆E的方程； （2）过点P(4，0)任作一条直线l与椭圆C交于不同的两点M，N.在x轴上是否存在点Q，使得∠PQM＋∠PQN＝180°？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 4．已知、分别为椭圆的左顶点和下顶点，为直线上的动点，的最小值为． （1）求的方程； （2）设与的另一交点为，与的另一交点为，问：是否存在点，使得四边形为梯形，若存在，求点坐标；若不存在，请说明理由． 5．已知椭圆的离心率为，且过点． （1）求椭圆G的方程； （2）过点斜率为的直线l交椭圆G于A，B两点，在y轴上是否存在点N使得（点N与点M不重合），若存在，求出点N的坐标，若不存在，请说明理由． 6．已知椭圆的焦点在x轴上，且经过点，左顶点为D，右焦点为F． （1）求椭圆C的离心率和的面积； （2）已知直线与椭圆C交于A，B两点，过点B作直线的垂线，垂足为G，判断是否存在常数t，使得直线经过y轴上的定点？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由． 7．已知椭圆：.左焦点，点在椭圆外部，点为椭圆上一动点，且的周长最大值为. （1）求椭圆的标准方程； （2）点､为椭圆上关于原点对称的两个点，为左顶点，若直线､分别与轴交于､两点，试判断以为直径的圆是否过定点.如果是请求出定点坐标，如果不过定点，请说明理由. 8．已知椭圆C的短轴的两个端点分别为，离心率为． （1）求椭圆C的方程及焦点的坐标； （2）若点M为椭圆C上异于A，B的任意一点，过原点且与直线平行的直线与直线交于点P，直线与直线交于点Q，试判断以线段为直径的圆是否过定点？若过定