2022届高考数学一轮复习椭圆中的定点问题 专题训练

专题7：椭圆中的定点问题 1．已知椭圆，点在椭圆上，椭圆上存在点与左焦点关于直线对称 （1）求椭圆的方程； （2）若､为椭圆的左､右顶点，过点的直线，与椭圆相交于点､两点，求证：直线过定点，并求出定点坐标. 2．已知椭圆经过点，且其右焦点与抛物线的焦点重合，过点且与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于，两点． （1）求椭圆的方程； （2）设为坐标原点，线段上是否存在点，使得？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由； （3）过点且不垂直于轴的直线与椭圆交于，两点，点关于轴的对称点为，试证明：直线过定点． 3．已知椭圆Γ：，斜率为k的直线l与椭圆Γ有两个不同的公共点A、B，Γ的左、右焦点分别为、. （1）若直线l经过点，求的周长； （2）若，求面积的取值范围；（3）若， ，直线与椭圆Γ的另一个交点为C，直线与椭圆Γ的另一个交点为D，求证：直线过定点，并求出定点的坐标. 4．已知椭圆的左、右焦点分别为、，离心率为，M是椭圆上的动点，的最大面积为1． （1）求椭圆的方程； （2）求证：过椭圆上的一点的切线方程为：； （3）设点P是直线上的一个动点，过P做椭圆的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB是否过定点？若是，求出这个定点坐标，否则，请说明理由． 5．已知椭圆C：＋y2＝1的右焦点为F，过点F的直线(不与x轴重合)与椭圆C相交于A，B两点，直线l：x＝2与x轴相交于点H，过点A作AD⊥l，垂足为D. （1）求四边形OAHB(O为坐标原点)的面积的取值范围. （2）证明：直线BD过定点E，并求出点E的坐标. 6．已知椭圆过点，离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）设点为椭圆的上顶点，、是椭圆上两个不同的动点（不在轴上），直线、的斜率分别为、，且，求证：直线过定点.7．已知椭圆过、两点. （1）求椭圆的离心率； （2）设椭圆的右顶点为，点在椭圆上（不与椭圆的顶点重合），直线与直线交于点，直线交轴于点，求证：直线过定点. 8．已知是椭圆的左焦点，焦距为，且过点. （1）求的方程; （2）过点作两条互相垂直的直线，若与交于两点，与交于两点，记的中点为的中点为，试判断直线是否过定点，若过点，请求出定点坐标;若不过定点，请说明理由. 9．如图，已知椭圆：的左焦点为，直线与椭圆交于，两点，且时，. （1）求的值； （2）设线段，的延长线分别交椭圆于，两点，当变化时，直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.10．已知斜率为的的直线与椭圆交于点，线段中点为，直线在轴上的截距为椭圆的长轴长的倍. （1）求椭圆的方程； （2）若点都在椭圆上，且都经过椭圆的右焦点，设直线的斜率分别为，，线段的中点分别为，判断直线是否过定点，若过定点.求出该定点，若不过定点，说明理由. 11．在平面直角坐标系中，椭圆：的左顶点为，点、是椭圆上的两个动点． （1）当、、三点共线时，直线、分别与轴交于，两点，求的值； （2）设直线、的斜率分别为，，当时，证明：直线恒过一个定点． 12．已知：椭圆的左右焦点为､，椭圆截直线所得线段的长为，三角形的周长为. （1）求的方程； （2）若，为上的两个动点，且.证明：直线过定点，并求定点的坐标. 13．已知椭圆的离心率为，直线与圆相切. （1）求椭圆的方程； （2） 若直线与椭圆交于、两点（、不是左、右顶点），且以为直径的圆过椭圆的右顶点，证明：直线过定点，并求出该定点坐标． 14．已知为椭圆上的一点，焦距长为2．、为椭圆的两条动弦，其倾斜角分别为，，且（，）． （1）求椭圆的标准方程； （2）探究直线是否过定点．若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由． 15．已知椭圆的离心率为，且经过点. （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）不过点的直线与椭圆交于两点，以线段为直径的圆经过点，证明：直线过定点. 参考答案，仅供参考哦 1．（1）；（2）定点坐标. 【分析】（1）先写出的坐标，得，再联立方程，解方程即可； （2）设，，设 方程和方程分别为、 ，将它们分别与椭圆方程联立，得到 方程，进而求出定点. 【解析】（1）由题意可得：左焦点关于直线对称点； 解得所以椭圆的方程：； （2）由题意可知，同时直线斜率存在且不为零， 与椭圆交于，设， 可得， ， 与椭圆交于，设， 可得， ， 当时，直线，， 令时，， 当时，，， 直线恒过点. 【点评】（1）解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去（或）建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系． （2）涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形． 2．（1）；（2）存在，；（3）证明见解析． 【分析】（1）求出抛物线的焦点，即可根据椭圆的右焦点坐标及点列方程求解a、b，从而求得椭圆方程；（2