专题07 圆锥曲线技巧提升篇07——椭圆和抛物线的双切问题-2022年高考数学圆锥曲线压轴题专项突破

圆锥曲线技巧提升篇07——椭圆和抛物线的双切问题 （一）椭圆的切线方程 （1）椭圆 上一点 处的切线方程是 ． （2）椭圆 外一点 所引两条切线的切点弦方程是 ． 例1．求证：过椭圆 上一点 的切线方程为 ． 例2．已知椭圆 和圆 ，过椭圆上一点 引圆 的两条切线，切点分别为 ． （1）①若圆 过椭圆的两个焦点，求椭圆的离心率； ②若椭圆上存在点 ，使得 ，求椭圆离心率的取值范围． （2）设直线 与 轴， 轴分别交于点 ，求证： 为定值． （二）蒙日圆及其应用 椭圆 的两条互相垂直的切线的交点 的轨迹是蒙日圆： ． 例1．已知椭圆 的一个焦点为 ，离心率为 ． （1）求椭圆 的标准方程； （2）若动点 为椭圆 外一点，且点 到椭圆 的两条切线相互垂直，求点 的轨迹方程． 例2．给定椭圆 ，称圆心在原点 ，半径为 的圆是椭圆 的“准圆”．若椭圆 的一个焦点为 ，其短轴上的一个端点到 的距离为 ． （1）求椭圆 的方程和其“准圆”方程； （2）点 是椭圆 的“准圆”上的动点，过点 作椭圆的切线 交“准圆”于点 ． ①证明：当点 为“准圆”与 轴正半轴的交点时， ； ②求证：线段 的长为定值． （三）抛物线中的双切线问题 （1）抛物线 上一点 处的切线方程是 ； （2）抛物线 外一点 所引两条切线的切点弦方程是 ． 【2021届江西省重点中学盟校第二次联考20题】 已知抛物线到其焦点F的距离为2．＝2py上一点 （1）求抛物线的方程； （2）如图，过直线1：y＝－2上一点A作抛物线的两条切线AP，AQ，切点分别为P，Q，且直线PQ与y轴交于点N．设直线AP，AQ与x轴的交点分别为B，C，求四边形ABNC面积的最小值． 【2021年全国高考乙卷·理科21题】 已知抛物线C：＝1上点的距离的最小值为4．＝2py(p＞0)的焦点为F，且F与圆M： （1）求p； （2）若点P在M上，PA，PB为C的两条切线，A，B是切点，求△PAB面积的最大值． 【巩固练习1】 已知抛物线C：＝4x，点P为抛物线C的准线上的任意一点，过点P作抛物线C的两条切线，切点分别为A，B，则点M(0，1)到直线AB的距离的最大值为________． 【巩固练习2】 已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F(0，c)(c＞0)关于直线l：x－y－2＝0的对称点为M，且|FM|＝．若点P为C的准线上的任意一点，过点P作C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点． （1）求抛物线C的方程； （2）求证：直线AB恒过定点，并求△PAB面积的最小值． （四）阿基米德三角形 圆锥曲线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形． 【性质1】当点Q在准线上时 1 阿基米德三角形底边AB过焦点， 2 AB上的中线平行于抛物线对称轴， 3 AQ⊥QB，且QF⊥AB， 4 的最小值为 . 上述结论在小题中可以直接使用，但也无需刻意去记，掌握推导方式，处理策略才是关键 【性质2】若阿基米德三角形的底边AB过抛物线内一定点，则三角形另一顶点的轨迹为一条直线． 【性质3】若直线 与抛物线没有公共点，则以 上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定点． 【性质4】在阿基米德三角形中， ． 例1．如图，设抛物线方程为 ， 为直线 上任意一点，过 引抛物线的切线，切点分别为 ， ．求证： ， ， 三点的横坐标成等差数列． 例2．已知抛物线 的焦点为 ， ， 是抛物线 上异于坐标原点 的不同两点，抛物线 在点 ， 处的切线分别为 ， ，且 ， 与 交于点 ． （1）求点 的纵坐标； （2）求证； ， ， 三点共线． 例3．已知抛物线的方程为 ，过点 的直线 与抛物线交于 ， 两点，分别过点 ， 作抛物线的两条切线 和 ， 和 ，交于点 ． (1) 求证：直线 和 ，的斜率之积为定值； (2) 求点 的轨迹方程． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $ 圆锥曲线技巧提升篇07——椭圆和抛物线的双切问题 （一）椭圆的切线方程 （1）椭圆 上一点 处的切线方程是 ． （2）椭圆 外一点 所引两条切线的切点弦方程是 ． 例1．求证：过椭圆 上一点 的切线方程为 ． 解析 【证明】证法一（解析法）设所求的切线方程为 代入椭圆方程得 ， 即 ① 因为直线与椭圆相切，所以方法①有相等的两个实数根 因此 化简得 ② 因为点 在椭圆上，所以 方程②的判别式 ， 故方程②有相等的两个实数根，且其根为： ． 则切线方程为 ，即 ． 证法二（导数法）对方程 两边取导数， ． 则切线方程为 ，即 ． 例2．已知椭圆 和圆 ，过椭圆上一点 引圆 的两条切线，切点分别为 ． （1）①若圆 过椭圆的两个焦点，求椭圆的离心率； ②若椭圆上存在点 ，使得 ，求椭圆离心率的取值范围． （2）设直线 与