专题05 运用添项拆项法因式分解 -2021-2022学年八年级数学之因式分解各类型问题解法攻略（人教版）

专题05 运用添项拆项法因式分解 打牢基础 重在理解 1.因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解． 2.添项和拆项法的核心就是把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原多项式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解；需要特别注意的是，必须在与原多项式相等的原则下进行变形. 典例引领 学会方法 【例题1】分解因式：x3-9x+8． 【例题2】因式分解： 。 【例题3】因式分解 x5﹣1＝　 　． 强化精炼 提升本领 1.分解因式:x4+4. 2．因式分解： （1）x4+y4+z4﹣2x2y2﹣2y2z2﹣2x2z2 （2）x7+x5+1 （3）（x+y﹣2xy）（x+y﹣2）+（xy﹣1）2． 3．因式分解： （1）x5+x+1；（2）x3﹣9x+8；（3）a4+2a3+3a2+2a+1． 4．因式分解： （1）x3﹣2x2+1；（2）3x3+2x﹣5；（3）x2+2xy+y2+x+y﹣2． 5．因式分解： （1）x2﹣3xy﹣10y2+x+9y﹣2；（2）x3﹣11x2+31x﹣21． 6．分解因式：a4+a2+1． 7．分解因式：x3﹣3x+2． 8．（x2+xy+y2）（x2+xy+2y2）﹣12y4． 9．将多项式x3（y﹣z）+y3（z﹣x）+z3（x﹣y）因式分解 10．因式分解： （1）x3﹣3x2+4；（2）x3﹣2x+1． 11．将多项式（1+y）2﹣2x2（1+y2）+x4（1﹣y）2因式分解 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $ 专题05 运用添项拆项法因式分解 打牢基础 重在理解 1.因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解． 2.添项和拆项法的核心就是把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原多项式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解；需要特别注意的是，必须在与原多项式相等的原则下进行变形. 典例引领 学会方法 【例题1】分解因式：x3-9x+8． 【答案】见解析。 【解析】由此题可以看出，用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种．本题解法很多，这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法，注意一下拆项、添项的目的与技巧． 解法1 将一次项-9x拆成-x-8x． 原式=x3-x-8x+8=(x3-x)+(-8x+8)=x(x+1)(x-1)-8(x-1) =(x-1)(x2+x-8)． 解法2 添加两项-x2+x2． 原式=x3-9x+8=x3-x2+x2-9x+8=x2(x-1)+(x-8)(x-1)　=(x-1)(x2+x-8)． 解法3 将常数项8拆成-1+9． 原式=x3-9x-1+9　=(x3-1)-9x+9=(x-1)(x2+x+1)-9(x-1)=(x-1)(x2+x-8)． 解法4 将三次项x3拆成9x3-8x3． 原式=9x3-8x3-9x+8=(9x3-9x)+(-8x3+8) =9x(x+1)(x-1)-8(x-1)(x2+x+1)=(x-1)(x2+x-8)． 【例题2】因式分解： 。 【答案】见解析。 【解析】本题无法直接进行因式分解，但观察其特点，两项都是偶次方因式，可以尝试添上两项，构造完全平方公式，则有 【例题3】因式分解 x5﹣1＝　 　． 【答案】(x﹣1)( x4+ x3+ x2+ x+1) 【解析】利用填项、分组、提出公因式法分解因式得出答案． x5﹣1 ＝x5﹣x4+x4﹣1 ＝（x5﹣x4）+（x4﹣1） ＝x4（x﹣1）+（x2+1）（x2﹣1） ＝x4（x﹣1）+（x2+1）（x+1）（x﹣1） =（x﹣1）[x4+（x2+1）（x+1）] =（x﹣1）[x4+（x3+ x2+x+1）] =（x﹣1）(x4+x3+ x2+x+1） 强化精炼 提升本领 1.分解因式:x4+4. 【答案】（x2+2x+2）（x2-2x+2） 【解析】x4+4=（